Как найти площадь поверхности параллелепипеда через развёртку

Чтобы понять, как найти площадь поверхности параллелепипеда через развёртку, представляют коробку разрезанной по рёбрам и разложенной на плоскости — получаются шесть прямоугольников, попарно равных. Площадь каждой пары считают отдельно: a×b, b×c и a×c, а затем удваивают и складывают: S = 2(ab + bc + ac). Для куба все рёбра равны, поэтому формула упрощается до S = 6a². Развёртку удобно рисовать, чтобы не пропустить ни одной грани при подсчёте. Такая развёртка помогает не запутаться в количестве граней при склеивании бумажной модели коробки.

$S = 2(ab + bc + ac)$

Разбор по случаям

Примеры

рёбра 4, 3 и 5 см. Рёбра параллелепипеда равны $a = 4 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$ и $c = 5 \text{ см}$. На развёртке видно три пары граней: $4 \times 3$, $3 \times 5$ и $4 \times 5$.

Площадь поверхности: $S = 2(4 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 5) = 2(12 + 15 + 20) = 2 \times 47 = 94 \text{ см}^2$.

Проверка: половина площади $94 : 2 = 47$ совпадает с суммой трёх произведений рёбер.

куб с ребром 5 см. Параллелепипед является кубом, ребро равно $a = 5 \text{ см}$, все шесть граней развёртки — одинаковые квадраты.

Площадь одной грани: $5 \times 5 = 25 \text{ см}^2$.

Площадь всей поверхности: $S = 6 \times 25 = 150 \text{ см}^2$.

Такой расчёт проще, потому что все грани куба равны между собой. Проверка: $150 : 6 = 25 \text{ см}^2$ — снова получается площадь одной грани куба.

Частые ошибки

• Забывают удвоить сумму трёх произведений и получают только половину настоящей площади поверхности.
• Путают ребро куба с диагональю грани и подставляют в формулу неверное число.
• Складывают площади только трёх граней развёртки, забывая про три противоположные, равные им.

Коротко

Как найти площадь поверхности параллелепипеда через развёртку, показывает разложение коробки на шесть прямоугольников: три пары равных граней дают формулу S = 2(ab + bc + ac). Для куба, где все рёбра равны, та же развёртка сводится к S = 6a².