Как найти площадь полной поверхности конуса

Чтобы понять, как найти площадь полной поверхности конуса, складывают две части: боковую поверхность и основание. Боковая поверхность — это сектор круга, его площадь равна произведению числа пи, радиуса и образующей. Площадь основания — это площадь круга, произведение числа пи на радиус в квадрате. Вынеся общий множитель за скобки, получают компактную формулу через радиус и сумму радиуса с образующей.

$S = \pi r (r + l)$

Разбор по случаям

Примеры

Конус с радиусом 3 см и образующей 7 см. Конус имеет радиус основания $r = 3\text{ см}$ и образующую $l = 7\text{ см}$, значения даны прямо в условии задачи.

Площадь боковой поверхности, то есть развёрнутого в сектор конуса, равна $\pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 7 = 21\pi\text{ см}^2$.

Площадь основания — это площадь круга радиусом 3 см: $\pi r^2 = \pi \cdot 9 = 9\pi\text{ см}^2$.

Складывая обе части, получают полную поверхность конуса: $S = 21\pi + 9\pi = 30\pi \approx 94{,}2\text{ см}^2$, если округлить число пи до сотых.

Конус, известны радиус 5 см и высота 12 см. У конуса радиус основания $r = 5\text{ см}$ и высота $h = 12\text{ см}$, а образующая в условии не указана напрямую.

Её находят по теореме Пифагора, ведь радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ см}$.

Полную поверхность считают по формуле с общим множителем радиуса за скобками: $S = \pi r (r + l) = \pi \cdot 5 \cdot 18 = 90\pi \approx 282{,}6\text{ см}^2$, где сумма радиуса и образующей равна 18.

Частые ошибки

• Забывают прибавить площадь основания и оставляют в ответе только боковую поверхность конуса.
• Путают высоту конуса с образующей и по ошибке подставляют в формулу боковой поверхности не то значение.
• При известных радиусе и высоте не находят образующую через теорему Пифагора, а складывают числа напрямую без корня.

Коротко

Полная поверхность конуса всегда состоит из боковой развёртки-сектора и круга-основания, которые складывают в общую площадь. Понять, как найти площадь полной поверхности конуса, проще всего через формулу с общим множителем — радиусом, умноженным на сумму радиуса и образующей.