Как найти площадь через синус

Как найти площадь через синус, если известны две стороны фигуры и угол между ними.

Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $\gamma$ между ними: $S = \frac{1}{2} a b \sin\gamma$.

Для параллелограмма со сторонами $a$, $b$ и углом $\alpha$: $S = a b \sin\alpha$. Такой способ удобен, когда высоту фигуры не проводили или её неизвестно, зато угол между сторонами дан в условии задачи. Этот приём особенно полезен в задачах, где высоту фигуры строить неудобно или её длина не является круглым числом.

Разбор по случаям

Примеры

Треугольник по двум сторонам. Стороны треугольника $a = 5\text{ см}$, $b = 8\text{ см}$, угол между ними $\gamma = 30^\circ$.

Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin30^\circ = 20 \cdot 0{,}5 = 10\text{ см}^2$.

Синус 30° равен 0,5, поэтому вычисление получается простым и не требует калькулятора, а результат легко проверить обратным подсчётом. Такой же порядок действий работает для любого треугольника, если известны две стороны и угол между ними, а высота заранее не построена.

Параллелограмм по сторонам. Стороны параллелограмма $a = 6\text{ см}$, $b = 9\text{ см}$, угол между ними $30^\circ$.

Площадь: $S = 6 \cdot 9 \cdot \sin30^\circ = 54 \cdot 0{,}5 = 27\text{ см}^2$.

Результат не изменится для смежного угла $150^\circ$, ведь синусы этих углов равны, а сумма смежных углов параллелограмма всегда равна 180°. Этот же способ применяют для ромба и квадрата, ведь они являются частными случаями параллелограмма с равными сторонами и известным углом между ними.

Частые ошибки

• Подставляют синус угла, который не лежит между известными сторонами.
• Путают синус с косинусом и получают неверный числовой множитель.
• Забывают множитель 1/2 при вычислении площади треугольника через синус, из-за чего результат получается вдвое больше правильного.

Коротко

Как найти площадь через синус, определяется одной идеей: перемножить стороны фигуры и синус угла между ними, добавив множитель 1/2 для треугольника. Формула работает для любого угла от 0° до 180°, поэтому подходит и для тупых углов между сторонами.