Как найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда

Как найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда: сечение, проведённое через два противоположных боковых ребра, представляет собой прямоугольник. Одна его сторона равна диагонали основания $d=\sqrt{a^2+b^2}$, вторая — высоте параллелепипеда $c$. Площадь сечения: $S = c\sqrt{a^2+b^2}$. Сначала находят диагональ основания по теореме Пифагора, затем полученное число умножают на высоту всей фигуры, получая ответ в квадратных единицах.

Разбор по случаям

Примеры

По длине, ширине и высоте. Параллелепипед имеет измерения $a=3\text{ см}$, $b=4\text{ см}$, $c=12\text{ см}$.

Сначала находят диагональ основания по теореме Пифагора: $d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}$.

Затем диагональ основания умножают на высоту фигуры: $S=c\cdot d=12\cdot5=60\text{ см}^2$ — это и есть искомая площадь сечения.

Проверка через пространственную диагональ: $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{9+16+144}=13\text{ см}$, тогда $c=\sqrt{D^2-d^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ см}$ — высота подтвердилась.

Частный случай — куб. Куб с ребром $a=6\text{ см}$ — частный случай параллелепипеда, у которого все рёбра равны.

Диагональ квадратного основания: $d=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\approx8{,}49\text{ см}$.

Площадь диагонального сечения: $S=a\cdot d=6\cdot8{,}49\approx50{,}9\text{ см}^2$, поскольку высота куба совпадает со стороной основания.

Проверка по формуле для куба: $S=a^2\sqrt{2}=36\sqrt{2}\approx50{,}9\text{ см}^2$ — тот же результат, что и через диагональ основания.

Частые ошибки

• Путают диагональное сечение с сечением по диагонали боковой грани и получают неверную фигуру.
• Забывают, что сечение всегда прямоугольник, и ищут его площадь как у квадрата.
• Считают диагональ основания сложением сторон напрямую, минуя возведение в квадрат и теорему Пифагора.

Коротко

Как найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда: находят диагональ основания по теореме Пифагора и умножают её на высоту фигуры. Получившийся прямоугольник и есть искомое сечение, а его площадь равна произведению этих двух величин, выраженных в одинаковых единицах измерения.