Как найти площадь неправильного многоугольника

Чтобы понять, как найти площадь неправильного многоугольника, нужно посмотреть, какие данные даны в условии задачи. Если известны координаты всех вершин, площадь считают по формуле через сумму произведений координат соседних точек. Если многоугольник выпуклый, его удобно разбить диагоналями из одной вершины на несколько треугольников и сложить их площади. Многоугольник на клетчатой бумаге считают по клеткам: целые клетки внутри плюс половина клеток на границе. Невыпуклый многоугольник со впадинами дополняют до выпуклой фигуры и вычитают лишнюю часть.

$S = \frac{1}{2}\left| \sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$

Разбор по случаям

Примеры

Многоугольник на клетчатой бумаге. Многоугольник занимает $20$ целых клеток внутри контура, а его граница проходит ещё через $8$ клеток координатной сетки. По формуле счёта клеток площадь равна $S = 20 + \frac{8}{2} = 24$ клеткам, а при стороне клетки $1$ см это составляет $24$ см².

Пятиугольник по координатам вершин. Вершины многоугольника заданы точками $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(8,3)$, $D(4,6)$ и $E(0,4)$ в сантиметрах на координатной плоскости. Сумма произведений координат соседних точек по формуле площади равна $70$, поэтому итоговая площадь равна $S = \frac{70}{2} = 35$ см².

Частые ошибки

• Пытаются найти одну универсальную формулу для любого неправильного многоугольника, хотя способ всегда зависит от исходных данных.
• При счёте по клеткам берут пограничные клетки как целые, а не делят их пополам.
• При разбиении диагоналями на треугольники теряют часть фигуры или по невнимательности считают один и тот же треугольник дважды.

Коротко

Чтобы понять, как найти площадь неправильного многоугольника, выбирают способ по тому, что дано в условии: координаты вершин, разбиение на треугольники или клетки чертежа. Для невыпуклой фигуры со впадинами удобнее дополнить её до выпуклой формы и вычесть лишнюю часть.