Как найти площадь многоугольника по формуле Пика

Как найти площадь многоугольника по формуле Пика: считают число узлов решётки внутри фигуры I и число узлов на её границе B, а затем складывают I с половиной от B и вычитают единицу. Формула: площадь равна I плюс B, делённое на два, минус один. Например, при 7 внутренних точках и 6 граничных площадь многоугольника равна 9 квадратным клеткам. Формула работает для любого многоугольника с вершинами в узлах решётки, включая невыпуклые фигуры.

$S = I + \dfrac{B}{2} - 1$

Разбор по случаям

Примеры

Многоугольник с внутренними точками. Многоугольник на клетчатой бумаге содержит $I = 7$ узлов решётки внутри контура и $B = 6$ узлов на самой границе фигуры, включая все вершины многоугольника.

По формуле Пика: $S = I + \dfrac{B}{2} - 1 = 7 + \dfrac{6}{2} - 1 = 7 + 3 - 1 = 9$.

Площадь фигуры равна $9$ квадратным клеткам, если сторона одной клетки принята за единицу измерения на сетке, и результат легко проверить обычным ручным подсчётом клеток.

Без внутренних точек. У треугольника на клетчатой бумаге нет ни одного узла решётки внутри контура, то есть $I = 0$, а на границе, включая вершины, лежит $B = 8$ узлов.

Формула упрощается, потому что слагаемое с внутренними точками пропадает: $S = \dfrac{B}{2} - 1 = \dfrac{8}{2} - 1 = 4 - 1 = 3$.

Площадь такого треугольника равна $3$ квадратным клеткам, что легко проверить обычным подсчётом по клеткам на рисунке.

Частые ошибки

• Забывают вычесть единицу в конце формулы, из-за чего итоговая площадь оказывается завышена на одну клетку.
• Путают внутренние точки с граничными и подставляют их значения в формулу не на свои места.
• Считают узлом решётки точку рядом с границей, а не строго на ней, и число B получается неверным.

Коротко

Как найти площадь многоугольника по формуле Пика, зависит только от подсчёта точек решётки: внутренних и граничных. Формула точна для любого простого многоугольника с вершинами в узлах сетки, а не только для выпуклых фигур.