Как найти площадь неправильного пятиугольника

Как найти площадь неправильного пятиугольника: фигуру разбивают диагоналями из одной вершины на три треугольника, находят площадь каждого по известным сторонам и высотам, а затем складывают результаты. Если известны координаты всех пяти вершин, проще применить формулу площади многоугольника по координатам — она сразу даёт итоговую площадь без построения диагоналей и без разбиения фигуры на части вручную.

$S = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Разбор по случаям

Примеры

Разбиение на треугольники. Неправильный пятиугольник разбили двумя диагоналями, проведёнными из одной вершины, на три треугольника.

Площади треугольников: $S_1=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\text{ см}^2$, $S_2=\frac{1}{2}\cdot5\cdot3=7{,}5\text{ см}^2$, $S_3=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5=10\text{ см}^2$.

Общую площадь пятиугольника получают сложением всех трёх частей: $S=12+7{,}5+10=29{,}5\text{ см}^2$.

По координатам вершин. Вершины пятиугольника заданы координатами $(0;0)$, $(4;0)$, $(5;3)$, $(2;5)$, $(-1;3)$ в порядке обхода по кругу. По формуле площади многоугольника считают сумму произведений координат по диагонали для каждой пары соседних точек: $0+12+19+11+0=42$. Площадь равна половине модуля этой суммы: $S=\frac{42}{2}=21$ квадратных единиц, и знак модуля не зависит от направления обхода. Проверку выполняют, посчитав сумму по формуле в обратном порядке обхода вершин — результат площади не меняется.

Частые ошибки

• Пытаются найти площадь неправильного пятиугольника по одной стороне или периметру, не разбивая фигуру на части.
• Путают порядок вершин в формуле по координатам и получают неверную итоговую сумму.
• Забывают один из треугольников при сложении площадей после разбиения фигуры диагоналями.

Коротко

Как найти площадь неправильного пятиугольника: фигуру либо разбивают диагоналями на треугольники и складывают их площади, либо применяют формулу по координатам вершин. Оба способа дают точный результат без предположений о форме сторон.