Как найти площадь неправильного шестиугольника

Как найти площадь неправильного шестиугольника: разбить фигуру на треугольники из одной вершины и сложить их площади, либо разбить на прямоугольник и несколько треугольников по сторонам. Если известны координаты всех шести вершин, площадь считают формулой Гаусса через суммы произведений соседних координат. Способ выбирают исходя из того, какие данные есть в условии: длины сторон с углами или готовые координаты точек.

$S = \dfrac{1}{2}\left| \sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$

Разбор по случаям

Примеры

Разбиение на треугольники. Неправильный шестиугольник состоит из прямоугольника в середине и двух треугольников по бокам.

Прямоугольник имеет размеры $6\text{ см} \times 4\text{ см}$, его площадь $S_{rect} = 6 \cdot 4 = 24\text{ см}^2$.

Каждый из двух боковых треугольников имеет основание $3\text{ см}$ и высоту $4\text{ см}$, площадь одного треугольника $S_{tri} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\text{ см}^2$.

Площадь всей фигуры: $S = 24 + 6 + 6 = 36\text{ см}^2$.

Такое разбиение подходит, когда шестиугольник напоминает прямоугольник с двумя срезанными или, наоборот, приставленными боковыми клиньями.

По координатам вершин. Шестиугольник задан координатами вершин $(0;0)$, $(4;0)$, $(6;2)$, $(4;5)$, $(1;5)$ и $(-1;2)$ на координатной плоскости. По формуле Гаусса складывают попарные произведения координат соседних точек и делят результат пополам по модулю: после подстановки всех шести пар получается площадь $S = 26\text{ см}^2$. Такой способ не требует разбиения на части и годится для абсолютно любой формы шестиугольника, если известны координаты каждой вершины.

Частые ошибки

• Складывают все стороны шестиугольника, думая, что находят площадь, хотя так считают только периметр.
• При разбиении на треугольники забывают учесть один из кусков и складывают площади не всех частей.
• В формуле Гаусса нарушают порядок обхода вершин или путают их координаты местами, получая неверный знак и число.

Коротко

Как найти площадь неправильного шестиугольника, зависит от исходных данных: при известных сторонах фигуру разбивают на прямоугольник и треугольники, а при известных координатах вершин применяют формулу Гаусса. Оба способа сводятся к сложению площадей простых частей или произведений координат.