Как найти площадь основания параллелепипеда

Как найти площадь основания параллелепипеда: если основание прямоугольное, перемножить длины его сторон по формуле $S = a \cdot b$.

Если основание представляет собой параллелограмм с углом между сторонами, применяют формулу $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$.

У прямого параллелепипеда с прямоугольным основанием угол между сторонами равен девяноста градусам, поэтому синус равен единице и формула упрощается до простого произведения сторон. Стороны основания перед подстановкой переводят в одну единицу измерения.

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольное основание 5×3 см. Стороны основания $a=5\text{ см}$ и $b=3\text{ см}$.

Площадь основания: $S=a \cdot b=5 \cdot 3=15\text{ см}^2$.

Зная площадь основания, объём параллелепипеда при высоте $h=4\text{ см}$ находят как $V=S \cdot h=15 \cdot 4=60\text{ см}^3$, что удобно для проверки решения задачи целиком.

Такой способ работает для любой призмы с прямоугольным основанием, не только для параллелепипеда. Расчёт занимает пару минут даже без калькулятора под рукой.

Основание параллелограмм со сторонами 6 и 4 см. Стороны основания $a=6\text{ см}$, $b=4\text{ см}$, угол между ними $\alpha=30^\circ$.

Площадь основания: $S=a \cdot b \cdot \sin\alpha=6 \cdot 4 \cdot 0,5=12\text{ см}^2$.

Значение синуса тридцати градусов равно $0,5$, поэтому расчёт получается простым даже без калькулятора под рукой. Если угол увеличить до девяноста градусов, основание станет прямоугольником, а площадь вырастет до максимума при тех же длинах сторон.

Частые ошибки

• Считают основание всегда прямоугольным, забывая, что у наклонного параллелепипеда оно параллелограмм.
• Подставляют в формулу площади сам угол между сторонами вместо его синуса.
• Путают площадь основания с площадью боковой грани параллелепипеда и берут не ту пару сторон.

Коротко

Как найти площадь основания параллелепипеда — для прямоугольного основания перемножить стороны, а для параллелограмма умножить стороны на синус угла между ними. Эта площадь нужна и для вычисления объёма фигуры через произведение площади основания на высоту параллелепипеда.