Как найти площадь основания шестиугольной пирамиды

Как найти площадь основания шестиугольной пирамиды: основание — это правильный шестиугольник со стороной $a$, а его площадь находят по формуле $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.

Число $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ подставляют в виде десятичной дроби для удобства расчёта. Если вместо стороны известна апофема $m$ — расстояние от центра до середины стороны, площадь находят как $S = 3\sqrt{3} m^2$, так как апофема правильного шестиугольника связана со стороной соотношением $m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Такую площадь используют затем при вычислении объёма пирамиды вместе с её высотой.

Разбор по случаям

Примеры

По стороне. Сторона основания шестиугольной пирамиды равна $a = 6\text{ см}$.

Площадь находят по формуле $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \dfrac{3 \cdot 1{,}732}{2} \cdot 36 = 2{,}598 \cdot 36 \approx 93{,}5$, то есть $S \approx 93{,}5\text{ см}^2$.

Апофема такого шестиугольника равна $m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \approx 5{,}2\text{ см}$, а периметр основания составляет $P = 6a = 36\text{ см}$.

Каждый из шести треугольников имеет площадь примерно $15{,}6\text{ см}^2$, и в сумме они дают ту же площадь основания. Такое основание типично для правильных шестиугольных призм и пирамид в школьных задачах.

Проверка суммой треугольников: $15{,}6 \times 6 \approx 93{,}6\text{ см}^2$, что совпадает с ответом при округлении.

По радиусу описанной окружности. Радиус окружности, описанной около основания, равен $R = 8\text{ см}$, что для правильного шестиугольника совпадает со стороной: $a = 8\text{ см}$.

Площадь находят по той же формуле: $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 2{,}598 \cdot 64 \approx 166{,}3$, то есть $S \approx 166{,}3\text{ см}^2$.

Апофема в этом случае равна $m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \approx 6{,}9\text{ см}$.

Такой способ удобен, когда в чертеже отмечен именно радиус окружности вокруг основания, а не сторона. Такое совпадение радиуса и стороны верно только для правильного шестиугольника, а не для любого многоугольника.

Проверка суммой треугольников: один треугольник даёт $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 \approx 27{,}7\text{ см}^2$, а $27{,}7 \times 6 \approx 166{,}3\text{ см}^2$ совпадает с ответом.

Частые ошибки

• Используют формулу площади квадрата или прямоугольника вместо формулы правильного шестиугольника.
• Забывают, что $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, и подставляют вместо него целое число, искажая результат.
• Путают апофему с радиусом описанной окружности, хотя у шестиугольника это разные величины.

Коротко

Как найти площадь основания шестиугольной пирамиды, показывает формула $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ для правильного шестиугольника со стороной $a$. Ту же площадь можно получить через апофему или радиус описанной окружности, если сторона в условии не задана напрямую.