Как найти площадь основания правильной призмы

Как найти площадь основания правильной призмы: сначала определяют, какой правильный многоугольник лежит в её основании — треугольник, квадрат, шестиугольник или другой. Затем считают его площадь по стандартной формуле: для треугольника S = a²√3/4, для шестиугольника S = (3√3/2)a², для произвольного n-угольника S = (n·a²), делённое на 4·tg(180°/n). Площадь основания при этом никак не зависит от высоты самой призмы.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Разбор по случаям

Примеры

Шестиугольная призма. Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a = 4$ см, вся призма стоит на этом шестиугольнике.

Площадь считаем по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot16$.

Подставляем приближённое значение $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ и после умножения получаем $S \approx 41{,}6$ см². Это и есть площадь основания правильной шестиугольной призмы, а высота самой призмы на эту площадь никак не влияет.

Треугольная призма. Основание призмы — правильный треугольник со стороной $a = 6$ см, все стороны основания равны между собой, как и все углы.

Площадь равна $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}6$ см².

Такую формулу используют для любой правильной треугольной призмы, независимо от того, насколько высокой или низкой она получилась по условию конкретной задачи в учебнике геометрии. Проверка приближением $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ даёт тот же результат.

Частые ошибки

• Путают площадь основания призмы с площадью её боковой поверхности, которая зависит ещё и от высоты.
• Используют формулу площади квадрата для шестиугольного или треугольного основания, хотя фигуры разные.
• Забывают, что высота призмы не входит в формулу площади основания и её незачем подставлять в расчёт.

Коротко

Как найти площадь основания правильной призмы — определить точный вид многоугольника в основании и применить соответствующую формулу площади правильного многоугольника со стороной a. Высота самой призмы на эту площадь не влияет, она нужна только для объёма или боковой поверхности.