Как найти площадь треугольника через основание и высоту

Площадь треугольника через основание и высоту находят по формуле: основание умножают на высоту, проведённую к этому основанию, и результат делят пополам. Высота должна быть перпендикулярна именно тому основанию, которое подставляют в формулу, а не любой другой стороне. Если высоты нет, но известны все три стороны, площадь считают по формуле Герона через полупериметр. Как найти площадь треугольника через основание и высоту проще всего, если чертёж уже дан с обозначенной высотой.

$S = \frac{1}{2} a h$

Разбор по случаям

Примеры

Основание и высота. Основание треугольника на чертеже равно 10 см, а высота, проведённая к этому основанию, равна 6 см.

Площадь находим по основной формуле: подставим $S=\frac{1}{2}\times10\times6=30$.

Площадь треугольника равна $30\text{ см}^2$. Этот способ работает для любого треугольника — остроугольного, тупоугольного или прямоугольного, если высота проведена верно перпендикулярно основанию, а не к боковой стороне.

Все три стороны, формула Герона. Треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см — классический пример из учебника, высоты в условии нет. Сначала находим полупериметр: подставим $p=\frac{13+14+15}{2}=21$.

По формуле Герона: подставим $S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\times8\times7\times6}=\sqrt{7056}=84$.

Площадь треугольника равна $84\text{ см}^2$, хотя ни одна высота в условии не задавалась вовсе, что удобно для задач без чертежа.

Частые ошибки

• Путают высоту с боковой стороной и используют в формуле длину не той линии.
• Забывают, что высота должна быть проведена именно к тому основанию, которое подставляют в формулу, а не к произвольной стороне.
• Складывают стороны треугольника вместо использования формулы Герона, когда высота неизвестна.

Коротко

Как найти площадь треугольника через основание и высоту, показывает главная формула геометрии: произведение основания на высоту делят пополам. Если высоты нет, но известны стороны или угол между ними, применяют формулу Герона или формулу через синус угла.