Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Как найти площадь треугольника через 3 стороны

Задачу решают формулой Герона: сначала находят полупериметр, а затем подставляют его вместе со сторонами в корень.

ГеометрияОбновлено 9 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти площадь треугольника через 3 стороны?

Нейросова

Как найти площадь треугольника через 3 стороны — по формуле Герона. Сначала находят полупериметр: складывают все три стороны и делят сумму на два. Затем полупериметр и его разности со сторонами подставляют под корень: площадь равна квадратному корню из произведения полупериметра на три такие разности. Формула работает для любого треугольника, а не только для прямоугольного или равностороннего.

S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см и площадью 84 квадратных сантиметра
Полупериметр 21 см подставляют в формулу Герона

Разбор по случаям

Что известноФормулаКогда применять
три стороны a, b и cS=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}полупериметр p сначала находят отдельно по формуле p=(a+b+c)/2p = (a+b+c)/2
полупериметр p уже известен из условияS=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}разности p минус каждая сторона подставляют сразу без промежуточного шага
стороны образуют прямоугольный треугольникS=12⋅a⋅bS = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot bпо теореме Пифагора проверили, что квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других
две стороны и угол между ними, найденный по теореме косинусовS=12⋅a⋅b⋅sin⁡(γ)S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)формула Герона даёт громоздкие вычисления, а угол найти проще
треугольник равносторонний, известна только одна сторонаS=a234S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}все три стороны равны, поэтому формулу Герона можно заменить короткой готовой формулой

Примеры

разносторонний треугольник. Стороны разностороннего треугольника равны a=13a = 13 см, b=14b = 14 см и c=15c = 15 см. Сначала находим полупериметр, сложив все стороны и разделив сумму пополам: p=(13+14+15)/2=21p = (13+14+15)/2 = 21 см.

Подставляем полупериметр и три его разности со сторонами под корень в формулу Герона: S=21⋅8⋅7⋅6=7056=84 см2S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\text{ см}^2.

Площадь треугольника равна 8484 квадратным сантиметрам, и для этого не понадобилось строить высоту. Проверка: высота к стороне 1414 см равна h=2S/14=12h = 2S/14 = 12 см, что подтверждает верность расчёта.

прямоугольный треугольник. Стороны прямоугольного треугольника равны a=6a = 6 см, b=8b = 8 см и c=10c = 10 см, где cc — гипотенуза. Находим полупериметр, сложив все три стороны и разделив сумму на два: p=(6+8+10)/2=12p = (6+8+10)/2 = 12 см.

Подставляем значения в формулу Герона: S=12⋅6⋅4⋅2=576=24 см2S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24\text{ см}^2.

Быстрая проверка через катеты 66 и 88 см как две прямоугольные стороны даёт точно такой же результат площади: S=12⋅6⋅8=24 см2S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{ см}^2.

Частые ошибки

  • Забывают разделить сумму сторон на два и подставляют в формулу полный периметр вместо полупериметра.
  • Путают порядок вычитания и находят разность стороны минус полупериметр вместо полупериметра минус сторона.
  • Извлекают квадратный корень только из последнего множителя, а не из всего произведения под корнем.

Коротко

Формула Герона позволяет найти площадь по трём сторонам без построения высоты, если сначала верно вычислен полупериметр. Именно так отвечают на вопрос, как найти площадь треугольника через 3 стороны, для любого вида треугольника.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Геометрия». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

  • Любой учебный вопрос
  • Понимает фото задания
  • Без регистрации
Спросить бота

Ещё по теме

А можно не писать самому