Как найти площадь треугольника через стороны

Как найти площадь треугольника через стороны: сначала находят полупериметр — сумму всех трёх сторон делят на два, а затем подставляют полупериметр и стороны в формулу Герона, извлекая квадратный корень из произведения полупериметра на три его разности со сторонами. Для равнобедренного треугольника с известным основанием и боковой стороной есть более короткая формула без вычисления полупериметра, а для прямоугольного треугольника с известными катетами площадь равна половине их произведения.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Разбор по случаям

Примеры

Разносторонний треугольник. Стороны треугольника равны $a = 13\text{ см}$, $b = 14\text{ см}$, $c = 15\text{ см}$.

Полупериметр: $p = (13+14+15)/2 = 21\text{ см}$.

По формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}$.

Под корнем получается $21\cdot8\cdot7\cdot6 = 7056$, а $\sqrt{7056} = 84$.

Площадь треугольника равна $S = 84\text{ см}^2$. Число под корнем раскладывается на удобные множители, поэтому результат легко проверить без калькулятора: $7056 = 84^2$.

Равнобедренный треугольник. Равнобедренный треугольник имеет основание $a = 6\text{ см}$ и боковые стороны $b = 5\text{ см}$.

По формуле для равнобедренного треугольника: $S = \dfrac{a}{4}\sqrt{4b^2-a^2} = \dfrac{6}{4}\sqrt{4\cdot25-36} = 1{,}5\sqrt{64}$.

Квадратный корень из 64 равен 8, поэтому $S = 1{,}5\cdot8 = 12\text{ см}^2$.

Тот же результат даёт и обычная формула Герона для сторон 6, 5 и 5. Такой способ особенно удобен, когда основание и боковая сторона уже даны и строить высоту не нужно.

Частые ошибки

• Путают полупериметр с обычным периметром и подставляют в формулу Герона удвоенное значение стороны.
• Складывают стороны треугольника без деления суммы на два, забывая найти именно полупериметр.
• Применяют упрощённую формулу для прямоугольного треугольника к произвольному треугольнику без прямого угла между сторонами.

Коротко

Как найти площадь треугольника через стороны — для разностороннего треугольника через полупериметр по формуле Герона, а для равнобедренного или прямоугольного — по упрощённым формулам, где участвуют только длины сторон. Для сторон 13, 14 и 15 см площадь равна 84 см², а для равнобедренного треугольника со сторонами 6, 5 и 5 см — 12 см².