Как найти площадь подобного треугольника

Как найти площадь подобного треугольника: нужно знать площадь одного треугольника и коэффициент подобия k — отношение сходственных сторон, высот, медиан или периметров. Площадь второго треугольника равна площади первого, умноженной на квадрат коэффициента подобия, поскольку линейные размеры меняются в k раз, а площадь — величина квадратичная. Если коэффициент подобия неизвестен, его сначала находят как отношение любой пары сходственных элементов.

$S_2 = S_1 \cdot k^2$

Разбор по случаям

Примеры

По коэффициенту подобия. Треугольник ABC имеет площадь $S_1 = 15\text{ см}^2$ и сторону $AB = 4\text{ см}$. Сходственная сторона подобного треугольника равна $A_1B_1 = 8\text{ см}$. Коэффициент подобия $k = \dfrac{8}{4} = 2$.

По формуле площадь второго треугольника $S_2 = S_1 \cdot k^2 = 15 \cdot 4 = 60\text{ см}^2$.

Проверить ответ можно, представив, что каждая сторона увеличилась вдвое, а площадь при этом выросла ровно в четыре раза, как и предсказывает формула. Так же решают задачу, если вместо сторон даны высоты или медианы треугольников.

По периметрам. Периметры двух подобных треугольников равны $P_1 = 10\text{ см}$ и $P_2 = 25\text{ см}$, а площадь меньшего $S_1 = 16\text{ см}^2$.

Коэффициент подобия $k = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$.

Площадь большего треугольника $S_2 = S_1 \cdot k^2 = 16 \cdot 6{,}25 = 100\text{ см}^2$.

Проверка через отношение периметров подтверждает, что площадь выросла именно в квадрат коэффициента раз. Такой способ особенно удобен, когда стороны треугольников по отдельности в условии задачи не указаны.

Частые ошибки

• Забывают возвести коэффициент подобия в квадрат и умножают площадь просто на k, будто она меняется как сторона.
• Путают коэффициент подобия с отношением площадей, хотя это разные числа, связанные квадратичной зависимостью.
• Берут в отношение несходственные стороны разных треугольников, из-за чего коэффициент подобия получается неверным.

Коротко

Как найти площадь подобного треугольника — значит умножить известную площадь на квадрат коэффициента подобия, который равен отношению сходственных сторон, высот или периметров. Обратная задача решается извлечением квадратного корня из отношения площадей.