Как найти площадь правильного многоугольника

Отвечая на вопрос, как найти площадь правильного многоугольника, чаще всего используют формулу $S = \frac{1}{2} P r$, где P — периметр, а r — апофема, то есть расстояние от центра до середины стороны.

Если апофема неизвестна, применяют формулу через число сторон n и длину стороны a: $S = \frac{n a^2}{4 \tan(\pi/n)}$.

Обе формулы работают, потому что правильный многоугольник состоит из n равных равнобедренных треугольников с общей вершиной в центре.

Разбор по случаям

Примеры

Правильный шестиугольник со стороной 4 см. Сторона шестиугольника $a = 4\text{ см}$.

По формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ получаем $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16 \approx \frac{3 \times 1{,}732}{2} \times 16 \approx 41{,}6\text{ см}^2$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной 4 см равна примерно 41,6 квадратного сантиметра.

Проверка через периметр и апофему: периметр $P = 6 \times 4 = 24\text{ см}$, апофема $r \approx 3{,}46\text{ см}$, тогда $S = \frac{1}{2} \times 24 \times 3{,}46 \approx 41{,}6\text{ см}^2$.

Периметр и апофема известны. Периметр многоугольника $P = 24\text{ см}$, апофема $r = 3{,}5\text{ см}$.

По формуле $S = \frac{1}{2} P r$ получаем $S = \frac{1}{2} \times 24 \times 3{,}5 = 42\text{ см}^2$.

Такой способ подходит для любого правильного многоугольника, если апофема уже найдена.

Проверка: умножив полученную площадь на два и разделив на периметр, снова получаем апофему: $\frac{42 \times 2}{24} = 3{,}5\text{ см}$.

Частые ошибки

• Путают апофему с радиусом описанной окружности, хотя апофема всегда короче и идёт именно к середине стороны, а не к вершине.
• Забывают делить произведение периметра на апофему пополам и получают площадь ровно вдвое больше настоящей.
• Подставляют в формулу с тангенсом угол в градусах вместо радиан на калькуляторе, из-за чего итоговый результат вычисления получается совершенно неверным.

Коротко

Отвечая на вопрос, как найти площадь правильного многоугольника, периметр умножают на апофему и делят пополам, либо используют формулу через число сторон и их длину. Для отдельных фигур, как правильный шестиугольник, существуют более простые готовые формулы без тангенса.