Как найти площадь сложного многоугольника

Как найти площадь сложного многоугольника: самый надёжный способ — разбить его диагоналями на треугольники и прямоугольники, посчитать площадь каждой части и сложить результаты.

Если известны координаты всех вершин, применяют формулу Гаусса: $S = \dfrac{1}{2}\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$, где сумма берётся по всем вершинам по порядку обхода контура.

Оба способа дают одинаковый результат, но формула по координатам быстрее для многоугольника со сложной ломаной границей.

Разбор по случаям

Примеры

По координатам вершин. Многоугольник задан вершинами $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(5;3)$, $D(1;4)$ в метрах.

По формуле Гаусса считаем: $S = \dfrac{1}{2}|(0 \cdot 0 - 4 \cdot 0) + (4 \cdot 3 - 5 \cdot 0) + (5 \cdot 4 - 1 \cdot 3) + (1 \cdot 0 - 0 \cdot 4)|$.

Сумма в скобках равна $0 + 12 + 17 + 0 = 29$, поэтому $S = \dfrac{29}{2} = 14{,}5\text{ м}^2$.

Обход вершин идёт против часовой стрелки, поэтому знак модуля результат не меняет. Такой способ работает для любого многоугольника, даже невыпуклого, если координаты вершин известны точно и перечислены по порядку обхода контура. Ошибка в порядке точек меняет знак результата, но не его абсолютную величину.

Разбиением на фигуры. Сложный пятиугольник разбивают диагональю на прямоугольник со сторонами $a = 6\text{ м}$ и $b = 4\text{ м}$ и прямоугольный треугольник с катетами $3\text{ м}$ и $4\text{ м}$.

Площадь прямоугольника $S_1 = 6 \cdot 4 = 24\text{ м}^2$, площадь треугольника $S_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\text{ м}^2$.

Общая площадь многоугольника равна сумме частей: $S = S_1 + S_2 = 24 + 6 = 30\text{ м}^2$.

Этот способ проще формулы Гаусса, если фигуру легко разбить на знакомые части без построения координатной сетки. Оба метода в итоге дают одинаковый результат, если разбиение выполнено без пропусков и наложений.

Частые ошибки

• Разбивают многоугольник на части с наложением или пропуском, из-за чего площадь считается неверно.
• Путают порядок вершин при подстановке в формулу Гаусса и получают неверную сумму.
• Складывают длины сторон вместо площади, забывая, что периметр и площадь — разные величины.

Коротко

Как найти площадь сложного многоугольника, показывают два надёжных способа: разбиение на простые фигуры с последующим сложением площадей и формула Гаусса по координатам вершин. Оба метода дают одинаковый результат, если части многоугольника не пересекаются и не пропущены.