Как найти площадь остроугольного треугольника

Как найти площадь остроугольного треугольника, можно через основание и высоту — $S = \frac{1}{2}ah$; через две стороны и острый угол между ними — $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$; или через все три стороны по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Острота всех углов на саму формулу не влияет, важно лишь верно измерить нужные величины и не перепутать стороны местами при подстановке в формулу, а при перестановке сторон $a$, $b$ и $c$ результат по формуле Герона не меняется.

Разбор по случаям

Примеры

Основание и высота. Равнобедренный остроугольный треугольник имеет основание $a = 10$ см и боковые стороны по $13$ см каждая.

Высота, проведённая к основанию, равна $h = 12$ см — это можно проверить по теореме Пифагора: $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12$.

Площадь равна $S = \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

Все три угла такого треугольника меньше 90°, потому что боковые стороны заметно длиннее половины основания. Проверить остроту углов можно и по теореме косинусов для каждого угла отдельно.

Все три стороны (формула Герона). Стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 6$ см и $c = 7$ см. Полупериметр $p = \frac{5+6+7}{2} = 9$ см.

По формуле Герона $S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt6 \approx 14,7$ см².

Треугольник остроугольный, потому что квадрат наибольшей стороны $7^2 = 49$ меньше суммы квадратов остальных сторон $5^2+6^2=61$. Такая проверка работает для любого треугольника и определяет вид угла напротив самой длинной стороны.

Частые ошибки

• При остром угле высоту иногда ищут вне треугольника, хотя для остроугольного треугольника основание высоты всегда лежит внутри стороны.
• В формуле Герона забывают разделить сумму сторон на два при вычислении полупериметра.
• Проверку на остроугольность делают по самой длинной стороне, но сравнивают её квадрат не с суммой, а с произведением квадратов других сторон.

Коротко

Как найти площадь остроугольного треугольника — решают по основанию и высоте, по двум сторонам с углом между ними или по формуле Герона через три стороны. Острота углов лишь гарантирует, что высота падает внутрь треугольника, а на саму формулу площади не влияет.