Как найти площадь треугольника по катетам

Чтобы понять, как найти площадь треугольника по катетам, нужно перемножить длины двух катетов и разделить произведение пополам. Катеты — это стороны, образующие прямой угол, поэтому один из них можно считать основанием, а другой высотой прямоугольного треугольника. Гипотенуза в этой формуле не используется вовсе, даже если её длина известна из условия задачи или дана на чертеже дополнительно.

$S = \frac{1}{2} a b$

Разбор по случаям

Примеры

по двум катетам. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 6\text{ см}$ и $b = 8\text{ см}$.

Площадь равна половине их произведения: $S = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 = \frac{48}{2} = 24\text{ см}^2$.

Гипотенуза в этом расчёте не нужна, хотя её несложно найти по теореме Пифагора: $c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ см}$.

Числа 6, 8 и 10 образуют классическую пифагорову тройку, поэтому корень извлекается точно.

по катету и гипотенузе. Дан катет $a = 9\text{ см}$ и гипотенуза $c = 15\text{ см}$.

Второй катет находят по теореме Пифагора: $b = \sqrt{15^2-9^2} = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$.

Площадь равна $S = \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot 12 = \frac{108}{2} = 54\text{ см}^2$.

Здесь пришлось сначала восстановить недостающий катет и только потом подставить оба значения в формулу площади.

Частые ошибки

• В формулу площади подставляют гипотенузу вместо одного из катетов, получая завышенный результат.
• Забывают разделить произведение катетов пополам и оставляют в ответе полное произведение.
• При известных катете и гипотенузе сразу считают площадь, не найдя предварительно второй катет через теорему Пифагора.

Коротко

Вопрос, как найти площадь треугольника по катетам, решается умножением катетов с делением пополам, если оба катета уже известны. Когда дан только один катет, второй сначала находят через гипотенузу или угол, а затем применяют ту же формулу.