Как найти площадь треугольника по трем медианам

Как найти площадь треугольника по трем медианам: сначала считают полупериметр вспомогательного треугольника, сторонами которого служат сами медианы, $p = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}$.

Затем применяют к этому треугольнику формулу Герона и умножают результат на $\frac{4}{3}$: $S = \frac{4}{3}\sqrt{p(p-m_a)(p-m_b)(p-m_c)}$.

Коэффициент $\frac{4}{3}$ нужен потому, что треугольник из медиан по площади составляет ровно три четверти исходного треугольника.

$S = \frac{4}{3}\sqrt{p(p-m_a)(p-m_b)(p-m_c)},\ p = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}$

Разбор по случаям

Примеры

Разносторонние медианы. Даны медианы $m_a = 9$ см, $m_b = 12$ см, $m_c = 15$ см. Складываем их и делим пополам, получая полупериметр вспомогательного треугольника: $p = \frac{9+12+15}{2}=18$ см.

По формуле Герона для треугольника из медиан: $\sqrt{18\cdot9\cdot6\cdot3}=\sqrt{2916}=54$.

Умножаем результат на коэффициент $\frac{4}{3}$: $S = \frac{4}{3}\cdot 54 = 72\text{ см}^2$ — это и есть площадь исходного треугольника.

Заметим, что треугольник из медиан прямоугольный, так как $9^2+12^2=15^2$, поэтому площадь проверяется формулой для перпендикулярных медиан: $S=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot9\cdot12=72\text{ см}^2$ — то же значение.

Равносторонний треугольник. У равностороннего треугольника все три медианы равны $m = 6$ см. Полупериметр вспомогательного треугольника: $p = \frac{6+6+6}{2}=9$ см.

По формуле Герона: $\sqrt{9\cdot3\cdot3\cdot3}=\sqrt{243}\approx15{,}59$.

Площадь исходного треугольника: $S = \frac{4}{3}\cdot15{,}59\approx20{,}8\text{ см}^2$.

Проверка по формуле для равностороннего треугольника: $S=\frac{m^2}{\sqrt3}=\frac{36}{\sqrt3}\approx20{,}8\text{ см}^2$ — результат совпал.

Частые ошибки

• Подставляют медианы в обычную формулу Герона и забывают домножить результат на коэффициент четыре третьих.
• Путают медианы с высотами треугольника и берут для расчёта не те отрезки.
• Ошибаются в подсчёте полупериметра вспомогательного треугольника, складывая медианы неправильно.

Коротко

Как найти площадь треугольника по трем медианам: строят вспомогательный треугольник со сторонами-медианами, находят его площадь по формуле Герона и умножают на коэффициент четыре третьих. Итог всегда получается площадью исходного треугольника, а не вспомогательного.