Как найти площадь треугольника с высотой

Чтобы понять, как найти площадь треугольника с высотой, основание умножают на высоту, проведённую именно к этому основанию, и делят результат пополам: S = (1/2) a h. При основании 8 см и высоте 5 см площадь равна половине произведения 8 на 5, то есть 20 см². Если высота не дана явно, но известны все три стороны фигуры, площадь считают через формулу Герона по полупериметру треугольника, не проводя измерений вручную.

$S = \frac{1}{2} a h_a$

Разбор по случаям

Примеры

Основание 8 см, высота 5 см. На чертеже в тетради основание треугольника равно $a = 8\text{ см}$, а высота, проведённая из противоположной вершины к этому основанию, равна $h_a = 5\text{ см}$.

Площадь находим по формуле $S = \dfrac{1}{2} a h_a$: $S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 = \dfrac{40}{2} = 20\text{ см}^2$.

Искомая площадь равна 20 квадратным сантиметрам, а другие стороны и углы фигуры для этого простого расчёта вообще не понадобились и остались неизвестными.

Стороны 13, 14, 15 см. В другой контрольной работе треугольник задан тремя сторонами $a = 13\text{ см}$, $b = 14\text{ см}$, $c = 15\text{ см}$, а высота нигде не указана и её сначала пришлось бы искать отдельно через ту же площадь.

Полупериметр: $p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21\text{ см}$.

По формуле Герона: $S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\text{ см}^2$.

Это классический пример из школьного учебника геометрии, дающий ровный целый ответ без округлений.

Частые ошибки

• Подставляют в формулу произвольную сторону фигуры вместо той, к которой проведена именно эта высота.
• Забывают разделить произведение основания на высоту пополам и оставляют вдвое завышенный результат.
• Используют формулу Герона, не проверив заранее, что три данных числа вообще способны образовать треугольник.

Коротко

Площадь треугольника через высоту равна половине произведения основания на высоту: S = (1/2) a h. Так отвечают на вопрос, как найти площадь треугольника с высотой, если основание и высота фигуры уже измерены на чертеже.