Как найти площадь треугольника в параллелограмме

Как найти площадь треугольника в параллелограмме — если треугольник опирается на целую сторону, а вершина лежит на противоположной стороне, его площадь равна ровно половине площади параллелограмма: $S_{tri}=\dfrac{1}{2}S_{par}$.

То же верно для треугольника, отсекаемого диагональю.

Если известны сторона и высота, площадь считают напрямую как $S=\dfrac{1}{2}ah$, а если известны две стороны и угол между ними — через синус: $S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Выбор нужной формулы зависит от того, какие именно величины даны в условии.

Разбор по случаям

Примеры

Сторона и высота. Параллелограмм со стороной $a=10\text{ см}$ и высотой $h=6\text{ см}$: площадь $S_{par}=10\cdot6=60\text{ см}^2$.

Треугольник построен на этой же стороне, а его вершина лежит на противоположной стороне параллелограмма.

Площадь треугольника: $S_{tri}=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot6=30\text{ см}^2$, что ровно вдвое меньше площади всего параллелограмма.

Это происходит потому, что основание и высота треугольника совпадают с основанием и высотой параллелограмма, независимо от того, где именно на стороне выбрана вершина.

Две стороны и угол. Параллелограмм со сторонами $a=8\text{ см}$, $b=5\text{ см}$ и углом между ними $30^\circ$.

Площадь: $S_{par}=8\cdot5\cdot\sin30^\circ=8\cdot5\cdot0{,}5=20\text{ см}^2$.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, площадь одного из них: $S_{tri}=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot5\cdot0{,}5=10\text{ см}^2$.

Результат снова равен ровно половине площади всей фигуры, как и в случае с высотой. Такое совпадение не случайно: любая диагональ параллелограмма делит его площадь пополам независимо от длин сторон и величины угла.

Частые ошибки

• Считают площадь треугольника как половину произведения сторон, забывая про синус угла между ними.
• Путают высоту параллелограмма с длиной его боковой стороны при подстановке в формулу.
• Забывают, что правило о половине площади работает только для треугольника с вершиной на противоположной стороне.

Коротко

Как найти площадь треугольника в параллелограмме — в большинстве случаев она равна половине площади самого параллелограмма, если основанием служит целая сторона или диагональ. Точную величину находят через сторону и высоту либо через две стороны и синус угла между ними.