Как найти площадь треугольной призмы

Чтобы понять, как найти площадь треугольной призмы, складывают боковую поверхность и площади двух оснований: S = Ph + 2S_{osn}, где P — периметр основания, h — высота призмы, S_{osn} — площадь треугольника в основании. Боковая поверхность равна произведению периметра основания на высоту, потому что боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Площадь самого основания считают отдельно по формулам треугольника, а затем подставляют результат в общую формулу полной поверхности фигуры.

$S = Ph + 2S_{osn}$

Разбор по случаям

Примеры

Катеты 3 и 4 см, высота 10 см. Деревянная деталь на уроке труда имеет форму призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 3\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$, гипотенуза равна $c = 5\text{ см}$.

Площадь основания: $S_{osn} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\text{ см}^2$.

Периметр основания: $P = 3+4+5 = 12\text{ см}$.

При высоте призмы $h = 10\text{ см}$ боковая поверхность равна $P h = 12 \times 10 = 120\text{ см}^2$, а полная площадь призмы: $S = 120 + 2 \times 6 = 132\text{ см}^2$.

Оба основания вместе дают 12 квадратных сантиметров.

Равносторонний треугольник со стороной 6 см. Основанием стеклянной призмы служит равносторонний треугольник со стороной $a = 6\text{ см}$, а высота самой призмы равна $h = 8\text{ см}$.

Площадь основания находим по формуле равностороннего треугольника: $S_{osn} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \approx 15{,}6\text{ см}^2$.

Периметр основания: $P = 3a = 18\text{ см}$.

Боковая поверхность: $P h = 18 \times 8 = 144\text{ см}^2$, а полная площадь призмы: $S = 144 + 2 \times 15{,}6 \approx 175{,}2\text{ см}^2$.

Такую призму с равносторонним основанием часто дают как модель для контрольной работы по стереометрии.

Частые ошибки

• Забывают удвоить площадь основания и считают только боковую поверхность вместо полной площади призмы.
• Неверно складывают периметр основания, теряя одну из трёх сторон треугольника при подсчёте.
• Путают высоту призмы, то есть длину бокового ребра, с высотой треугольника внутри самого основания фигуры.

Коротко

Полная площадь треугольной призмы равна сумме боковой поверхности и двух равных оснований: S = Ph + 2S_osn. Так отвечают на вопрос, как найти площадь треугольной призмы, зная стороны основания и высоту всей фигуры.