Как найти площадь тупого треугольника

Чтобы понять, как найти площадь тупого треугольника, чаще всего используют половину произведения основания на высоту: S = ½ · a · h, при этом высота может падать вне треугольника на продолжение основания. Если известны две стороны и угол между ними, применяют S = ½ · a · b · sin γ. Когда даны все три стороны, площадь находят по формуле Герона через полупериметр. Тип угла — тупой, острый или прямой — на выбор формулы не влияет.

$S = \frac{1}{2} a h$

Разбор по случаям

Примеры

Через высоту. Основание тупого треугольника равно $a = 10\text{ см}$, а высота, проведённая к нему, равна $h = 4\text{ см}$, при этом основание самой высоты лежит на продолжении стороны треугольника за его пределами.

Площадь находят по обычной формуле для любого треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20$, то есть $S = 20\text{ см}^2$.

Наличие тупого угла в фигуре никак не мешает применить именно эту формулу через основание и высоту.

Через две стороны и угол. Стороны треугольника равны $a = 6\text{ см}$ и $b = 8\text{ см}$, а угол между этими сторонами тупой и равен $\gamma = 150°$.

Площадь находят через синус известного угла: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 150° = 24 \cdot 0{,}5 = 12$, то есть $S = 12\text{ см}^2$.

Синус тупого угла 150° равен синусу его смежного острого угла величиной ровно 30 градусов, поэтому вычисление получается точно таким же простым, как для острого угла.

Частые ошибки

• Считают, что для тупого треугольника обычная формула через основание и высоту не подходит.
• Забывают, что высота может лежать вне треугольника, и пытаются найти её только внутри фигуры.
• Путают синус тупого угла с косинусом при вычислении площади через две стороны.

Коротко

Как найти площадь тупого треугольника, зависит от того, что именно дано в условии: основание с высотой, две стороны с углом между ними или три стороны без единого угла. Тип угла — тупой, острый или прямой — на выбор формулы площади никак не влияет.