Как найти площадь вписанного треугольника

Как найти площадь вписанного треугольника: если известны все три стороны и радиус описанной окружности, площадь равна произведению сторон, делённому на учетверённый радиус. Если известны только углы треугольника и радиус окружности, площадь находят через удвоенный квадрат радиуса и произведение синусов всех трёх углов. Когда треугольник прямоугольный и вписан в окружность, его гипотенуза служит диаметром, а площадь считают как обычно — через произведение катетов, делённое пополам.

$S = \frac{abc}{4R}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник. Треугольник с катетами $a = 6\text{ см}$ и $b = 8\text{ см}$ вписан в окружность, а его гипотенуза $c = 10\text{ см}$ служит диаметром. Радиус окружности равен половине гипотенузы: $R = 10/2 = 5\text{ см}$.

По общей формуле: $S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{6\cdot8\cdot10}{4\cdot5} = \dfrac{480}{20} = 24\text{ см}^2$.

Тот же результат даёт формула для прямоугольного треугольника: $S = \dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8 = 24\text{ см}^2$.

Совпадение результатов подтверждает, что общую формулу через радиус можно применять к любому треугольнику, включая прямоугольный.

Равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник вписан в окружность радиусом $R = 4\text{ см}$, все его углы равны $60^\circ$.

По формуле через радиус и углы: $S = 2R^2\sin A\sin B\sin C = 2\cdot16\cdot0{,}866^3$.

Синус $60^\circ$ приблизительно равен $0{,}866$, а его куб — примерно $0{,}6495$.

Умножив на $32$, получают $S \approx 20{,}8\text{ см}^2$.

Сторона такого треугольника при этом равна $a = R\sqrt{3} \approx 6{,}9\text{ см}$, что можно проверить обычной формулой площади равностороннего треугольника через сторону.

Частые ошибки

• Путают радиус вписанной окружности с радиусом описанной, хотя в формуле нужен именно описанный радиус.
• Забывают, что гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, равна диаметру, а не радиусу.
• Подставляют в формулу с синусами стороны треугольника вместо его углов.

Коротко

Как найти площадь вписанного треугольника — через произведение сторон и радиус описанной окружности либо через углы треугольника и тот же радиус, если стороны неизвестны. Для прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см площадь равна 24 см², а для равностороннего треугольника с радиусом 4 см — примерно 20,8 см².