Как найти проекцию вектора

Разберёмся, как найти проекцию вектора на заданное направление или ось. Найти проекцию вектора $\vec{a}$ на ось $l$ можно двумя основными способами. Если известен модуль вектора и угол $\varphi$ между вектором и осью, проекция равна произведению длины на косинус угла. Если заданы координаты вектора $\vec{a}(x_1, y_1)$ и направляющего вектора оси $\vec{b}(x_2, y_2)$, проекция вектора на ось вычисляется через скалярное произведение, делённое на модуль вектора оси.

$\text{pr}_l \vec{a} = |\vec{a}| \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

Разбор по случаям

Примеры

Проекция через угол. Дано: длина векторного отрезка равна $|\vec{a}| = 10$, а угол между вектором и направленной осью $l$ составляет $\varphi = 120^\circ$. Требуется вычислить величину проекции.

Применяем стандартную формулу проекции: $\text{pr}_l \vec{a} = |\vec{a}| \cos \varphi$.

Подставляем числовые значения в выражение: $\text{pr}_l \vec{a} = 10 \cdot \cos 120^\circ = 10 \cdot (-0{,}5) = -5$.

Поскольку угол между направлениями тупой, проекция вектора на ось имеет отрицательный знак. Ответ: $-5$.

Проекция по координатам. Дано: задан рабочий вектор $\vec{a}$ с координатами $(3, 4)$ и вектор направления оси $\vec{b}$ с координатами $(4, 3)$.

Для вычисления искомой величины сначала находим скалярное произведение векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$.

Затем определяем длину второго вектора: $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$.

Наконец, проекция вектора на ось получается делением произведения на длину: $\text{pr}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{24}{5} = 4{,}8$.

Ответ: $4{,}8$.

Частые ошибки

• Путают скалярную проекцию, которая является числом, с векторной проекцией, являющейся вектором.
• Забывают про знак минус, когда угол между вектором и осью является тупым.
• Делят скалярное произведение на модуль проецируемого вектора вместо модуля вектора оси.

Коротко

Теперь вы знаете, как найти проекцию вектора через угол или координаты векторов. В зависимости от условий задачи проекция вектора на ось может быть как положительной, так и отрицательной.