Как найти произведение векторов по координатам

Чтобы понять, как найти произведение векторов по координатам, одноимённые координаты векторов перемножают и складывают результаты: $a\cdot b = x_1x_2+y_1y_2$. Такое скалярное произведение — обычное число, а не вектор, и оно вполне может оказаться отрицательным в зависимости от угла между векторами. Если вместо числа нужна площадь параллелограмма, применяют другую формулу — векторное произведение $a\times b = x_1y_2-y_1x_2$, где итоговый результат берут по модулю, отбрасывая знак минус, если он получился в вычислении.

Разбор по случаям

Примеры

Скалярное произведение. Векторы заданы координатами $a(3;4)$ и $b(-2;5)$ на координатной плоскости, одна из координат отрицательная.

Скалярное произведение $a\cdot b = 3\cdot(-2)+4\cdot5 = -6+20=14$.

Положительный результат говорит о том, что угол между этими двумя векторами острый, а не тупой и не прямой — знак числа сразу подсказывает примерный вид угла между ними без всякого построения точного чертежа.

Векторное произведение. Для тех же самых векторов $a(3;4)$ и $b(-2;5)$ векторное произведение на плоскости равно $a\times b = 3\cdot5 - 4\cdot(-2) = 15+8=23$.

Модуль этого числа равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах фигуры, а половина этого же числа равна площади треугольника, построенного ровно на тех же самых двух векторах и их общей вершине.

Частые ошибки

• Путают скалярное произведение, дающее обычное число, с векторным, которое связано с площадью.
• Забывают, что при отрицательных координатах знаки при умножении нужно учитывать внимательно и очень точно.
• Складывают координаты векторов вместо их почленного перемножения при вычислении произведения двух заданных векторов.

Коротко

Итог: как найти произведение векторов по координатам — перемножить их одноимённые координаты и сложить результаты для скалярного произведения. Для площади фигуры, построенной на этих же двух векторах, используют отдельную формулу векторного произведения с вычитанием, а не сложением.