Как найти сумму векторов, зная их длины

Чтобы понять, как найти сумму векторов, зная их длины, используют правило параллелограмма: $|\vec a+\vec b|=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta}$, где $\theta$ — угол между векторами, отложенными от одной общей точки.

Если векторы сонаправлены, их длины просто складывают, а если направлены противоположно — вычитают одну из другой. Для перпендикулярных векторов формула превращается в обычную теорему Пифагора, так как косинус прямого угла равен нулю.

$|\vec a+\vec b| = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta}$

Разбор по случаям

Примеры

Перпендикулярные векторы. Длины векторов $a=3$ см и $b=4$ см, угол между ними $90^\circ$.

По формуле $|\vec a+\vec b|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ см — получилась обычная теорема Пифагора для прямоугольного треугольника.

Тупой угол между равными векторами. Длины векторов равны $a=b=8$ см, угол между ними $\theta=120^\circ$. Косинус тупого угла $\cos120^\circ=-0{,}5$.

Сумма квадратов под корнем: $8^2+8^2+2\cdot8\cdot8\cdot(-0{,}5)=64+64-64=64$.

Модуль суммы $|\vec a+\vec b|=\sqrt{64}=8$ см — совпал по значению с длиной каждого из двух исходных векторов.

Частые ошибки

• Сумма двух векторов — не сумма их длин: складывать длины напрямую можно, только если векторы сонаправлены.
• Путают формулу суммы векторов с обычной теоремой Пифагора, если угол между векторами не равен 90°.
• Берут угол между векторами, отложенными друг за другом по правилу треугольника, вместо угла из общей точки.

Коротко

Итог: как найти сумму векторов, зная их длины — подставить длины и угол между ними в формулу с косинусом, аналогичную теореме косинусов для обычного треугольника. Случаи 0°, 90° и 180° упрощают счёт до сложения, теоремы Пифагора или вычитания.