Как найти значение выражения векторов

Как найти значение выражения векторов, зависит от того, что стоит в выражении: сумму, разность или произведение на число находят покоординатно.

Если $\vec{a} = (a_1; a_2)$ и $\vec{b} = (b_1; b_2)$, то $\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1;\, a_2+b_2)$, а $k\vec{a} = (ka_1;\, ka_2)$.

Порядок действий такой же, как в обычных числовых выражениях: сначала умножение на число, потом сложение и вычитание. Такой порядок помогает избежать ошибок в знаках при подстановке чисел, особенно если в выражении несколько слагаемых сразу.

Разбор по случаям

Примеры

Сумма и умножение на число. Даны векторы $\vec{a} = (2; 3)$ и $\vec{b} = (-1; 4)$, требуется найти значение выражения $2\vec{a} - \vec{b}$, где сначала выполняют умножение, а потом вычитание. Умножение на число 2 меняет обе координаты вектора $\vec{a}$: $2\vec{a} = (4; 6)$. Затем из этих координат вычитают соответствующие координаты вектора $\vec{b}$ поочерёдно: $(4-(-1);\, 6-4) = (5; 2)$.

Итоговый вектор равен $2\vec{a} - \vec{b} = (5; 2)$, а его длина составляет $\sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{29}$ единиц.

Такой порядок действий совпадает с привычным приоритетом операций в обычной алгебре.

Линейная комбинация трёх векторов. Даны три вектора: $\vec{a} = (5; -2)$, $\vec{b} = (-3; 1)$ и $\vec{c} = (4; 0)$.

Найдём значение выражения $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, складывая и вычитая координаты по очереди: по оси $x$ получаем $5 + (-3) - 4 = -2$, по оси $y$ — $-2 + 1 - 0 = -1$.

Итоговый вектор равен $(-2; -1)$, и порядок действий здесь не важен, так как сложение и вычитание векторов коммутативны. Такой способ работает для любого числа слагаемых векторов, а не только для двух.

Частые ошибки

• Складывают или вычитают только одну координату вектора, забывая про вторую.
• Меняют порядок действий и сначала складывают векторы, а потом умножают на число, хотя нужно наоборот.
• Путают вектор-результат с числом — записывают длину вместо пары координат или наоборот.

Коротко

Как найти значение выражения векторов — задача сводится к действиям с координатами по осям: сложению, вычитанию и умножению на число в нужном порядке. Итоговый вектор задают парой координат или, если нужно, его длиной. Скалярное произведение и модуль вектора — это уже другие, отдельные операции. Такие вычисления часто встречаются в задачах по геометрии и физике.