Как найти скалярное произведение векторов a и b

Как найти скалярное произведение векторов a и b: на плоскости перемножают их одноимённые координаты и складывают результаты, a·b = x1x2 + y1y2. В пространстве к сумме добавляют ещё произведение координат по оси z. Если координаты неизвестны, но даны длины векторов и угол между ними, скалярное произведение находят как произведение модулей на косинус этого угла. Результат, равный нулю, означает, что векторы перпендикулярны друг другу.

$a\cdot b = x_1x_2 + y_1y_2$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы a(3, 4) и b(2, −1). Даны векторы $a = (3, 4)$ и $b = (2, -1)$.

Скалярное произведение находят через координаты: $a \cdot b = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2$.

Так как результат положительный, угол между векторами острый, а нулевой результат означал бы, что векторы перпендикулярны друг другу. Отрицательный результат, наоборот, указывал бы на тупой угол между направлениями этих двух векторов.

Модули векторов 5 и 4, угол 60°. Длина вектора $|a| = 5$, длина $|b| = 4$, угол между ними $\varphi = 60^\circ$.

Скалярное произведение находят через модули и косинус угла: $a \cdot b = 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 20 \cdot 0{,}5 = 10$.

Формула работает даже без известных координат векторов, если даны их длины и угол между направлениями, а не только конкретные числа их координат на плоскости.

Частые ошибки

• Складывают координаты векторов вместо того, чтобы перемножать одноимённые координаты и складывать произведения.
• Путают скалярное произведение с векторным и пытаются получить в ответе вектор вместо числа.
• Забывают, что косинус тупого угла отрицательный, и получают неверный знак у результата.

Коротко

Скалярное произведение векторов находят через их координаты или через модули и косинус угла между ними, а ноль в ответе означает перпендикулярность. Так отвечают на вопрос, как найти скалярное произведение векторов a и b, и на плоскости, и в пространстве.