Как найти скалярное произведение векторов через координаты

Как найти скалярное произведение векторов через координаты, показывает простая формула: координаты перемножают по осям и складывают результаты.

Если $\vec{a} = (a_1; a_2)$ и $\vec{b} = (b_1; b_2)$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$.

В пространстве добавляется третья координата: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

Результат — обычное число, а не вектор, поэтому у него нет направления. Такой способ работает быстрее, чем вычисление через длины векторов и косинус угла между ними, особенно если сам угол неизвестен или его трудно измерить. Формулу легко проверить, вычислив то же произведение через длины и косинус угла.

Разбор по случаям

Примеры

Векторы на плоскости. Даны векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (2; -1)$, требуется найти их скалярное произведение через координаты.

Умножают координаты по осям и складывают результаты: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2$.

Отрицательное слагаемое не мешает: числа просто складывают со своими знаками, а итоговое значение — обычное число 2, а не координаты нового вектора. Такой знак произведения также подсказывает, что угол между векторами острый. Такую проверку удобно делать в задачах по геометрии, где угол не задан явно.

Проверка перпендикулярности. Даны векторы $\vec{a} = (4; -3)$ и $\vec{b} = (3; 4)$, и нужно проверить, перпендикулярны ли они.

Скалярное произведение равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-3) \cdot 4 = 12 - 12 = 0$.

Так как произведение равно нулю, векторы перпендикулярны — угол между ними равен $90^\circ$, хотя ни один из них не измерялся транспортиром. Этот признак часто используют в задачах на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков на координатной плоскости. Этот же приём подходит и для проверки перпендикулярности сторон многоугольника.

Частые ошибки

• Перемножают координаты крест-накрест, как при векторном произведении, а не по осям одноимённые.
• Забывают учитывать знак минус у отрицательной координаты при умножении.
• Путают скалярное произведение (число) с суммой векторов (тоже вектор) и складывают координаты вместо умножения.

Коротко

Как найти скалярное произведение векторов через координаты — самый быстрый способ без измерения угла: перемножить координаты по осям и сложить результаты. Ноль в ответе сразу говорит о перпендикулярности векторов.