Как найти разницу векторов

Как найти разницу векторов — вычесть из координат уменьшаемого вектора координаты вычитаемого по каждой оси отдельно: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, значит $c_x = a_x - b_x$ и $c_y = a_y - b_y$.

Геометрически векторы откладывают от одной точки и соединяют конец вычитаемого с концом уменьшаемого — это и есть вектор разности. Длину и направление находят уже по готовым координатам результата, а не по отдельным слагаемым. Такой способ работает для любых двух векторов с известными координатами, независимо от их расположения на чертеже.

Разбор по случаям

Примеры

Разность по координатам. Даны векторы $\vec{a} = (5; 3)$ и $\vec{b} = (2; 1)$, отложенные от одной точки. Чтобы найти их разность, вычитаем координаты вычитаемого вектора из координат уменьшаемого по каждой оси отдельно: $c_x = 5 - 2 = 3$ и $c_y = 3 - 1 = 2$.

Получаем вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (3; 2)$, который короче каждого из исходных векторов.

Его длина равна $|\vec{c}| = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} \approx 3,6$, что подтверждает: разность векторов — не сумма модулей, а отдельный вектор со своими координатами.

Отрицательная координата в ответе. Даны векторы $\vec{a} = (1; 4)$ и $\vec{b} = (6; 2)$, у которых координата второго вектора больше, чем у первого.

Вычисляем разность по осям: $c_x = 1 - 6 = -5$ и $c_y = 4 - 2 = 2$, поэтому $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (-5; 2)$.

Отрицательная координата означает, что вектор разности направлен в противоположную сторону по оси абсцисс.

Его длина $|\vec{c}| = \sqrt{(-5)^2+2^2} = \sqrt{29} \approx 5,4$, а знак минус у координаты сохраняют в ответе, не превращая его в модуль.

Частые ошибки

• Складывают координаты векторов вместо вычитания, получая сумму, а не разность.
• Путают порядок вычитания и считают $\vec{b} - \vec{a}$ там, где по условию нужна разность $\vec{a} - \vec{b}$.
• Забывают, что разница векторов — новый вектор с двумя координатами, а не одно число.

Коротко

Как найти разницу векторов — вычесть координаты вычитаемого из координат уменьшаемого по каждой оси и получить новый вектор с двумя числами. Геометрически этот вектор идёт от конца второго вектора к концу первого, если оба отложены от общей точки.