Как найти скалярное произведение векторов по рисунку

Чтобы понять, как найти скалярное произведение векторов по рисунку, смотрят, что именно показано на чертеже: длины и угол или координаты по клеткам. Если длины векторов равны 6 и 4, а угол между ними 60 градусов, произведение равно: 6 умножить на 4, умножить на косинус 60 градусов, то есть на 0,5, итого 12. Если векторы заданы по клеткам, их координаты просто перемножают и складывают напрямую.

$a \cdot b = |a||b|\cos\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Угол 60° между векторами. На рисунке длина вектора $a$ равна 6, длина вектора $b$ равна 4, угол между ними 60 градусов.

Подставляем в формулу: $a \cdot b = 6 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 24 \cdot 0,5 = 12$.

Скалярное произведение векторов по рисунку равно 12. Косинус шестидесяти градусов равен ровно 0,5, поэтому вычисление заметно упрощается.

Векторы по клеткам. На рисунке вектор $a$ идёт по клеткам на 3 клетки вправо и 4 вверх, вектор $b$ — на 4 вправо и 3 вниз. Их координаты: $a(3; 4)$, $b(4; -3)$.

Скалярное произведение: $a \cdot b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12-12 = 0$.

Нулевой результат показывает, что оба вектора на рисунке перпендикулярны друг другу.

Частые ошибки

• Берут смежный угол на рисунке вместо угла, образованного при совмещении начал обоих векторов.
• Складывают длины векторов вместо их произведения при использовании формулы через косинус угла.
• При чтении координат по клеткам путают знак проекции, если вектор направлен против выбранной оси.

Коротко

Чтобы понять, как найти скалярное произведение векторов по рисунку, используют либо длины сторон и угол через косинус, либо координаты по клеткам чертежа. Оба способа дают одинаковый результат, если данные с рисунка сняты правильно и без ошибок.