Как найти разность векторов по координатам

Как найти разность векторов по координатам — вычесть координаты второго вектора из координат первого по каждой оси отдельно: $c_x = a_x - b_x$ и $c_y = a_y - b_y$, а в пространстве добавляется ещё $c_z = a_z - b_z$. Метод работает без чертежа: достаточно знать числа, записанные в скобках у каждого вектора, и аккуратно вычесть их по осям. Результат — новый вектор, координаты которого можно сразу использовать в дальнейших вычислениях, например для нахождения длины.

$c_x = a_x - b_x, \; c_y = a_y - b_y$

Разбор по случаям

Примеры

Разность по координатам на плоскости. Даны векторы $\vec{a} = (4; 5)$ и $\vec{b} = (1; 2)$.

По координатам находим разность: $c_x = 4 - 1 = 3$ и $c_y = 5 - 2 = 3$, поэтому $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (3; 3)$.

Обе координаты результата равны, значит, вектор разности направлен под углом 45 градусов к осям координат. Такой способ подходит, если у обоих векторов известны только числовые координаты, без дополнительных точек начала и конца на чертеже, которые пришлось бы сначала вычитать.

Разность с отрицательными координатами. Даны векторы $\vec{a} = (3; -2)$ и $\vec{b} = (-4; 5)$, у обоих есть отрицательные координаты.

Вычитаем по осям: $c_x = 3 - (-4) = 7$ и $c_y = -2 - 5 = -7$, поэтому $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (7; -7)$.

При вычитании отрицательного числа знаки меняют на противоположные, поэтому минус на минус даёт плюс в первой координате.

Модуль результата равен $|\vec{c}| = \sqrt{7^2+(-7)^2} = \sqrt{98} \approx 9,9$, а вектор разности направлен вниз и вправо от начала отсчёта, что видно по знакам обеих координат.

Частые ошибки

• Меняют порядок координат местами и вычисляют $\vec{b} - \vec{a}$ вместо нужной разности $\vec{a} - \vec{b}$.
• Ошибаются в знаках при вычитании отрицательных координат, теряя минус на минус.
• Вычитают координаты только по одной оси, забывая повторить действие для второй координаты.

Коротко

Как найти разность векторов по координатам — вычесть координаты второго вектора из координат первого по каждой оси и получить новый вектор с двумя (или тремя) числами. Способ не требует чертежа и одинаково работает для положительных и отрицательных координат, а также для векторов в пространстве.