Как найти синус любого угла

Чтобы понять, как найти синус любого угла, угол сначала приводят к острому: для угла от 90° до 180° берут синус его дополнения до 180°, для угла от 180° до 270° синус равен минус синусу угла минус 180°, а для угла от 270° до 360° — минус синусу дополнения до 360°. Для острого угла синус находят как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, а для угла больше 360° сначала вычитают полные обороты по 360°, пока не получится значение внутри одного круга.

$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Тупой угол 150°. Угол равен $\alpha = 150^\circ$, он лежит во второй четверти, между 90° и 180°.

Синус находят через дополнение до 180°: $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Табличное значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, значит $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ — знак остаётся положительным, ведь вторая четверть даёт положительный синус для любого угла внутри неё, без исключений из этого правила.

Угол 210° в третьей четверти. Угол равен $\alpha = 210^\circ$, он лежит в третьей четверти, между 180° и 270°.

Вычитают 180°: $210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$, а синус берут со знаком минус: $\sin 210^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$.

Третья четверть всегда даёт отрицательный синус, потому что точка окружности опускается ниже горизонтальной оси координат.

Частые ошибки

• Забывают, что во второй четверти синус остаётся положительным, и ставят перед ним минус по ошибке.
• Путают формулы для третьей и четвёртой четверти и вычитают угол не из того числа.
• Ищут синус тупого или отрицательного угла сразу по прямоугольному треугольнику, хотя такой угол в него не вписывается.

Коротко

Итог: синус любого угла сводится к синусу острого угла, а знак определяет четверть окружности, где он расположен. Как найти синус любого угла для тупых, отрицательных и больших значений — вопрос выбора подходящей формулы приведения.