Как найти углы между диагоналями прямоугольника

Как найти углы между диагоналями прямоугольника: сначала по теореме Пифагора находят длину диагонали через обе стороны, а затем через стороны считают косинус угла между диагоналями и берут от него арккосинус. Получившийся угол — острый угол между диагоналями, а второй, тупой угол между теми же диагоналями равен 180 градусов минус первый, так как в точке пересечения образуются две пары вертикальных углов.

$\cos\theta = \frac{b^2 - a^2}{a^2 + b^2}$

Разбор по случаям

Примеры

По двум сторонам. Прямоугольник со сторонами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Сначала находим диагональ по теореме Пифагора: $d = \sqrt{6^2+8^2} = 10$ см.

Дальше считаем косинус угла между диагоналями по формуле: $\cos\theta = \frac{8^2-6^2}{6^2+8^2} = \frac{28}{100} = 0{,}28$.

Отсюда острый угол между диагоналями $\theta \approx 73{,}7°$, а смежный с ним тупой угол равен $180° - 73{,}7° = 106{,}3°$, что вместе даёт полный развёрнутый угол в точке пересечения диагоналей. Проверка суммой: $73{,}7°+106{,}3°=180°$, значит оба угла найдены верно.

По диагонали и стороне. У того же прямоугольника заранее известны только диагональ $d = 10$ см и сторона $a = 6$ см, а вторая сторона условием не дана.

Косинус угла между стороной и диагональю: $\cos\alpha = \frac{a}{d} = \frac{6}{10} = 0{,}6$, значит $\alpha \approx 53{,}1°$.

Угол между диагоналями получаем как $180° - 2\alpha = 180° - 106{,}3° = 73{,}7°$, что полностью совпадает с результатом, найденным через обе стороны прямоугольника в первом способе решения.

Совпадение результатов двух разных способов подтверждает верность вычислений.

Частые ошибки

• Считают, что диагонали любого прямоугольника всегда пересекаются под прямым углом, как в квадрате.
• Округляют косинус угла сразу до целого числа и получают заметно неверный градус вместо 73,7°.
• Путают острый угол между диагоналями со смежным тупым, называя один вместо другого.

Коротко

Как найти углы между диагоналями прямоугольника — вычислить косинус через стороны по формуле (b² − a²), делённой на (a² + b²), и найти угол через арккосинус. Второй угол между диагоналями дополняет первый до 180 градусов, поэтому известен автоматически.