Как найти угол между прямыми в кубе

Как найти угол между прямыми в кубе: вводят систему координат с началом в одной из вершин, находят направляющие векторы обеих прямых по разности координат конечной и начальной точек, вычисляют их скалярное произведение и модули, а затем берут модуль отношения скалярного произведения к произведению модулей — это косинус искомого угла. Через арккосинус получают сам угол, у скрещивающихся прямых он всегда острый или прямой, поэтому знак результата не учитывают, берут только абсолютную величину.

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec a||\vec b|}$

Разбор по случаям

Примеры

Диагонали соседних граней. В кубе с ребром $a = 4$ см вершины $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $B_1(4;0;4)$, $C_1(4;4;4)$. Прямая $AB_1$ — диагональ передней грани, прямая $BC_1$ — диагональ соседней боковой грани, они скрещиваются в пространстве куба. Направляющие векторы: $\vec{AB_1} = (4;0;4)$ и $\vec{BC_1} = (0;4;4)$. Скалярное произведение равно $0+0+16=16$, модули векторов равны $4\sqrt2$ каждый.

Получаем $\cos\varphi = \dfrac{16}{32} = 0{,}5$, значит угол между этими прямыми равен $\varphi = 60^\circ$.

Диагональ и ребро. В том же кубе с ребром $a = 4$ см диагональ $AC_1$ задаёт вектор $(4;4;4)$, ребро $AB$ — вектор $(4;0;0)$. Такой угол между пространственной диагональю куба и его ребром одинаков для любого ребра благодаря симметрии фигуры. Скалярное произведение равно $16$, модуль диагонали $4\sqrt3$, модуль ребра $4$.

Тогда $\cos\varphi = \dfrac{16}{16\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3} \approx 0{,}58$, откуда угол между прямыми составляет примерно $\varphi \approx 54{,}7^\circ$.

Частые ошибки

• Забывают взять модуль скалярного произведения и получают тупой угол там, где угол между прямыми должен быть острым или прямым.
• Путают направляющий вектор прямой с вектором ребра, беря координаты не той пары вершин куба.
• Считают модуль вектора без извлечения квадратного корня и получают неверное значение косинуса угла.

Коротко

Как найти угол между прямыми в кубе — построить координаты вершин, найти направляющие векторы прямых и вычислить модуль отношения их скалярного произведения к произведению модулей. Для диагонали и ребра куба угол получается примерно 54,7°, а для диагоналей соседних граней — ровно 60°.