Как найти угол между биссектрисой и медианой

Как найти угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из одной вершины треугольника: находят середину противоположной стороны для медианы и точку деления той же стороны в отношении прилежащих сторон для биссектрисы по теореме о биссектрисе, строят от вершины векторы к этим точкам и через арккосинус отношения их скалярного произведения к произведению модулей получают угол. В равнобедренном треугольнике обе линии совпадают, и угол между ними равен нулю.

$\cos\varphi = \dfrac{\vec{AM}\cdot\vec{AL}}{|\vec{AM}||\vec{AL}|}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник. В треугольнике с прямым углом при вершине $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$ медиана идёт в точку $M(3;4)$ — середину $BC$, а биссектриса делит $BC$ в отношении $AB:AC=6:8$ и приходит в точку $L(24/7;24/7)$. Вектор $\vec{AM}=(3;4)$ направлен под углом $\approx53{,}13^\circ$ к оси, вектор $\vec{AL}$ идёт под углом $45^\circ$.

Разность даёт угол между биссектрисой и медианой $\varphi = \arctan\dfrac17 \approx 8{,}13^\circ$.

Равнобедренный треугольник. В треугольнике с вершиной $A(0;6)$ и основанием $B(-4;0)$, $C(4;0)$ боковые стороны равны $AB=AC=\sqrt{52}$. Середина основания $M(0;0)$ лежит на оси симметрии фигуры, а биссектриса угла $A$ по свойству равнобедренного треугольника идёт по той же оси. Поэтому вектор $\vec{AM}$ и направление биссектрисы полностью совпадают, и угол между медианой и биссектрисой здесь равен $\varphi = 0^\circ$.

Частые ошибки

• Берут середину стороны AB или AC вместо стороны, противоположной вершине, и получают неверную точку для медианы.
• Делят противоположную сторону пополам вместо деления в отношении прилежащих сторон, забывая про теорему о биссектрисе угла.
• Считают, что биссектриса и медиана совпадают всегда, а не только в равнобедренном треугольнике.

Коротко

Как найти угол между биссектрисой и медианой — построить обе точки на противоположной стороне по формулам середины отрезка и биссектрисы угла, затем сравнить направления векторов из общей вершины. В равнобедренном треугольнике угол равен нулю, а в прямоугольном с катетами a и b его тангенс равен отношению |b−a| к сумме a+b.