Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Как найти угол между векторами на ЕГЭ

Угол между векторами на плоскости или в пространстве находят через отношение их скалярного произведения к произведению длин.

ГеометрияОбновлено 9 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти угол между векторами на ЕГЭ?

Нейросова

Как найти угол между векторами на ЕГЭ: вычисляют скалярное произведение векторов, делят его на произведение их модулей и получают косинус искомого угла, а затем через арккосинус находят сам угол. Если векторы заданы координатами, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат, а модуль каждого вектора — корню из суммы квадратов его координат. Нулевое скалярное произведение сразу указывает на прямой угол, без вычисления косинуса. В задачах про угол треугольника координаты сторон сначала находят вычитанием координат вершин.

cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Угол между двумя векторами величиной 45 градусов с косинусом, равным корню из двух пополам
Синус и косинус такого угла равны между собой

Разбор по случаям

Что известноФормулаКогда применять
векторы заданы координатами на плоскостиcos⁡φ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22\cos\varphi = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}в условии даны координаты обоих векторов на плоскости
известны модули векторов и их скалярное произведениеcos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{\lvert \vec a\rvert \lvert \vec b\rvert }скалярное произведение и длины векторов уже даны или посчитаны
скалярное произведение векторов равно нулюφ=90∘\varphi = 90^\circпроверка на перпендикулярность векторов без вычисления косинуса
координаты векторов пропорциональны с одинаковым знакомφ=0∘\varphi = 0^\circвекторы сонаправлены, лежат на одной прямой в одну сторону
векторы заданы координатами в пространствеcos⁡φ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22\cos\varphi = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}задача из стереометрической части ЕГЭ с тремя координатами
нужен угол между сторонами треугольника по координатам вершинcos⁡φ=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣\cos\varphi = \dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\lvert \vec{AB}\rvert \lvert \vec{AC}\rvert }в задаче даны координаты вершин, а не самих векторов

Примеры

По координатам. Даны векторы a⃗=(1;0)\vec{a} = (1; 0) и b⃗=(1;1)\vec{b} = (1; 1).

Скалярное произведение равно a⃗⋅b⃗=1⋅1+0⋅1=1\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot1+0\cdot1 = 1.

Модули векторов равны ∣a⃗∣=1|\vec{a}| = 1 и ∣b⃗∣=2|\vec{b}| = \sqrt{2}.

Косинус угла равен cos⁡φ=12≈0,71\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71, поэтому угол между векторами составляет φ=45∘\varphi = 45^\circ.

Перпендикулярные векторы. Даны векторы a⃗=(3;4)\vec{a} = (3; 4) и b⃗=(−4;3)\vec{b} = (-4; 3).

Скалярное произведение равно a⃗⋅b⃗=3⋅(−4)+4⋅3=−12+12=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot(-4)+4\cdot3 = -12+12 = 0.

Раз скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а угол между ними составляет φ=90∘\varphi = 90^\circ. Проверять модули векторов в этом случае уже не требуется.

Частые ошибки

  • Забывают разделить скалярное произведение на произведение модулей векторов и принимают само произведение за косинус угла.
  • Путают координаты векторов и складывают их вместо перемножения одноимённых координат при вычислении скалярного произведения.
  • Не проверяют знак косинуса и получают острый угол там, где по формуле должен получиться тупой угол.

Коротко

Как найти угол между векторами на ЕГЭ — вычислить скалярное произведение и модули векторов, а затем найти арккосинус их отношения. Нулевое скалярное произведение сразу означает угол девяносто градусов без дополнительных вычислений, а для векторов в пространстве в формулу добавляют третью координату.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Геометрия». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

  • Любой учебный вопрос
  • Понимает фото задания
  • Без регистрации
Спросить бота

Ещё по теме

А можно не писать самому