Как найти вектор нормали

Чтобы понять, как найти вектор нормали, проще всего посмотреть на уравнение прямой или плоскости: коэффициенты при переменных x, y и z и есть его координаты. Для прямой $Ax + By + C = 0$ на плоскости нормаль равна $n = (A; B)$. Для плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ в пространстве нормаль равна $n = (A; B; C)$. Если уравнения нет, а даны два вектора в плоскости, нормаль находят через их векторное произведение, а не через простое сложение.

Разбор по случаям

Примеры

По уравнению прямой. Дано уравнение прямой $3x - 4y + 5 = 0$. Коэффициенты при переменных x и y равны $A = 3$ и $B = -4$. Вектор нормали к этой прямой сразу равен $n = (3; -4)$, потому что коэффициенты уравнения — это и есть координаты нормали. Проверить результат просто: скалярное произведение нормали и направляющего вектора прямой $(4; 3)$ должно равняться нулю, ведь векторы перпендикулярны.

Через векторное произведение. Плоскость задана двумя векторами $a = (1; 2; 3)$ и $b = (4; 5; 6)$, лежащими в этой плоскости.

Находим координаты через векторное произведение по стандартным формулам: $n_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$, $n_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 6$, $n_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$.

Получаем $n = (-3; 6; -3)$, а после деления всех трёх координат на общий множитель $3$ выходит более простой и удобный вектор $(-1; 2; -1)$, который тоже подходит в качестве ответа.

Частые ошибки

• Путают направляющий вектор прямой с нормалью и подставляют его без поворота на 90 градусов.
• При векторном произведении путают порядок множителей и меняют знак результата на противоположный.
• Берут координаты точки на прямой вместо коэффициентов уравнения при переменных x и y.

Коротко

Нормаль к прямой или плоскости находят из коэффициентов их уравнения либо через векторное произведение двух направляющих векторов фигуры. Именно так отвечают на вопрос, как найти вектор нормали, независимо от того, задана фигура уравнением или парой векторов.