Как найти вектор по двум точкам

Вопрос «Как найти вектор по двум точкам» решают вычитанием: из координат конца отнимают координаты начала. Для точек A(x1;y1) и B(x2;y2) вектор AB равен (x2−x1; y2−y1). В пространстве точно так же вычитают ещё и третьи координаты z. Порядок точек важен: вектор AB и вектор BA отличаются знаком у каждой координаты, хотя длина у них одинаковая. Такой способ работает для любых чисел, включая отрицательные и дробные координаты точек.

$\vec{AB} = (x_2-x_1;\ y_2-y_1)$

Разбор по случаям

Примеры

точки на плоскости. Точка $A(2;\,3)$ и точка $B(7;\,5)$.

Вектор по двум точкам строят вычитанием координат начала из координат конца: $\vec{AB} = (7-2;\,5-3) = (5;\,2)$.

Первое число показывает сдвиг вправо по оси x на пять единиц, второе — сдвиг вверх по оси y на две единицы. Если поменять точки местами, вектор BA получится $(-5;\,-2)$, направленным строго в противоположную сторону.

точки в пространстве. Точка $A(1;\,0;\,2)$ и точка $B(4;\,3;\,-1)$.

Для пространственного вектора отдельно вычитают каждую из трёх координат: $\vec{AB} = (4-1;\,3-0;\,-1-2) = (3;\,3;\,-3)$.

Все три числа получились равными по модулю, а знак у последней координаты отрицательный, потому что точка B лежит ниже точки A вдоль оси z. Такой вектор можно представить как смещение на три единицы вправо, три единицы вперёд и три единицы вниз одновременно.

Частые ошибки

• Вычитают координаты в обратном порядке и получают вектор BA вместо нужного вектора AB, что меняет знак у обеих координат.
• Складывают координаты точек вместо вычитания и получают неверные значения обеих координат вектора.
• Забывают третью координату в пространственной задаче и решают её как плоскую, теряя ось z целиком.

Коротко

Вопрос «Как найти вектор по двум точкам» решается одним действием: из координат конечной точки вычитают координаты начальной. Порядок точек определяет направление вектора, а количество координат — два или три — зависит от того, на плоскости задача или в пространстве.