Как найти длину вектора по двум точкам

Вопрос «Как найти длину вектора по двум точкам» решают в два шага: сначала находят координаты вектора вычитанием, а затем вычисляют корень из суммы их квадратов. Для точек A(x1;y1) и B(x2;y2) длина равна |AB| = √((x2−x1)²+(y2−y1)²). В пространстве под корнем появляется ещё и третье слагаемое с разностью координат z. По сути это обычная теорема Пифагора, применённая к прямоугольному треугольнику из координатных отрезков. Отрицательный знак разности координат при возведении в квадрат исчезает сам собой.

$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

точки на плоскости. Точка $A(1;\,2)$ и точка $B(4;\,6)$.

Сначала находят координаты вектора: $\vec{AB} = (4-1;\,6-2) = (3;\,4)$.

Длину вектора по двум точкам получают через корень из суммы квадратов: $|AB| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Числа 3, 4 и 5 образуют знакомую пифагорову тройку, поэтому корень извлекается без остатка и калькулятор не нужен. Если бы числа под корнем не складывались в точный квадрат, ответ пришлось бы оставить в виде корня или округлить до десятых.

точки в пространстве. Точка $A(0;\,0;\,0)$ и точка $B(2;\,3;\,6)$. Координаты вектора: $\vec{AB} = (2;\,3;\,6)$.

Длину находят с учётом третьей координаты: $|AB| = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

Начальная точка здесь совпадает с началом координат, поэтому координаты вектора равны координатам самой точки B без вычитания. Такой частный случай часто встречается в задачах, где вектор откладывают прямо от начала координат до заданной точки в пространстве.

Частые ошибки

• Забывают возвести разности координат в квадрат и складывают их без квадратов.
• Извлекают корень из каждого слагаемого отдельно вместо корня из их суммы.
• Теряют одну из координат в пространственной задаче и считают длину как на плоскости.

Коротко

Вопрос «Как найти длину вектора по двум точкам» решается через координаты вектора и теорему Пифагора: разности координат возводят в квадрат, складывают и извлекают корень. Формула одинаково работает и на плоскости, и в пространстве, если добавить нужное число слагаемых под корнем.