Что такое дружественные числа

Дружественные числа — это два натуральных числа, каждое из которых равно сумме всех собственных делителей другого числа пары, то есть делителей, меньших самого числа. Самая известная пара — 220 и 284: сумма собственных делителей одного числа даёт ровно второе число пары, и наоборот, без остатка. Именно такую пару чисел и называют, когда спрашивают, что такое дружественные числа в теории чисел.

$d(a) = b, \quad d(b) = a$

Разбор по случаям

Примеры

Проверка пары 220 и 284. У числа $220$ собственные делители — $1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110$, а их сумма равна $284$.

У числа $284$ собственные делители — $1, 2, 4, 71, 142$, а их сумма равна $220$. Раз каждое число равно сумме делителей другого числа пары, числа $220$ и $284$ образуют дружественную пару.

Проверка непарных чисел. У числа $12$ собственные делители — $1, 2, 3, 4, 6$, а их сумма равна $16$, а не $12$. Число $16$ в свою очередь не даёт в сумме собственных делителей число $12$ обратно, а даёт другое число. Поэтому пара $12$ и $16$ не является дружественной, хотя первая сумма и навела на подозрение о связи.

Частые ошибки

• Дружественные числа путают с совершенными числами, хотя совершенное число дружественно само себе, а не другому числу.
• В сумму собственных делителей по ошибке включают само исходное число, что завышает результат и ломает всю проверку пары.
• Проверяют только одно число из пары чисел и считают их дружественными без встречной проверки суммы делителей второго числа.

Коротко

Что такое дружественные числа, показывает пара 220 и 284: сумма собственных делителей одного числа в точности равна второму числу пары, и наоборот. От совершенных чисел их отличает то, что суммы делителей совпадают у двух разных чисел, а не у одного самого с собой.