Что такое иррациональные числа: примеры

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $m/n$ с целыми числами $m$ и $n$; их десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода. Что такое иррациональные числа: примеры показывают лучше всего — это $\sqrt{2}$, $\pi$ и $e$, ни для одного из них нет конечной или периодической записи, сколько бы знаков после запятой ни искали. Множество иррациональных чисел вместе с рациональными числами образует множество всех действительных чисел на числовой прямой.

$x \ne \dfrac{m}{n}, \quad m, n \in \mathbb{Z}, \; n \ne 0$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратный корень из двух. Число $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots$ иррационально: точного значения в виде конечной или периодической дроби у него нет, а цифры после запятой продолжаются без видимого повторения сколь угодно долго.

Ещё в древности математики доказали, что $\sqrt{2}$ нельзя представить в виде дроби $m/n$ с целыми числами $m$ и $n$.

Число π. Число $\pi \approx 3{,}14159265\ldots$ — тоже иррациональное число: оно равно отношению длины окружности к её диаметру для любой окружности, а десятичная запись бесконечна и не имеет периода.

В школьных задачах π часто округляют до $3{,}14$, но такое округление даёт лишь приближение, а не точное значение.

Частые ошибки

• Путают термин «иррациональное число» с «неправильной дробью», хотя это два совершенно разных математических понятия из разных тем.
• Округлённое значение вроде $\pi \approx 3{,}14$ принимают за точное значение числа и теряют иррациональность в дальнейших вычислениях.
• Считают все корни иррациональными, забывая про корни из точных квадратов вроде $\sqrt{4} = 2$, которые на самом деле рациональны.

Коротко

Что такое иррациональные числа: примеры $\sqrt{2}$, $\pi$ и $e$ показывают главный признак — бесконечную непериодическую десятичную запись без представления в виде дроби $m/n$. Вместе с рациональными числами они образуют множество всех действительных чисел.