Что такое иррациональные числа в алгебре

Иррациональное число — это число, которое невозможно записать в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$ с целыми числителем и знаменателем, а его десятичная запись бесконечна и не имеет периода. К иррациональным числам относят квадратные корни, которые не извлекаются нацело, например $\sqrt{2}$, а также числа $\pi$ и $e$. Именно это разбирают, когда объясняют, что такое иррациональные числа в алгебре, при изучении множества действительных чисел.

$x \neq \frac{p}{q},\ p, q \in \mathbb{Z}$

Разбор по случаям

Примеры

Корень из 2 как иррациональное число. Число $\sqrt{2}$ нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$ с целыми $p$ и $q$: доказано, что такое равенство ведёт к противоречию в чётности числителя и знаменателя.

Его десятичное значение $1{,}41421356\ldots$ продолжается бесконечно и не повторяется никаким периодом, в отличие от дроби $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$, где период есть.

Поэтому $\sqrt{2}$ относят именно к иррациональным, а не к обычным дробным числам.

Число пи в вычислении длины окружности. Длину окружности вычисляют по формуле $C = 2\pi r$, где число $\pi \approx 3{,}14159$ является иррациональным и никогда не сводится к точной конечной дроби.

При радиусе $r = 5\text{ см}$ получаем $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 \approx 31{,}4\text{ см}$, а более точное значение потребовало бы бесконечного числа знаков после запятой без повторяющегося блока цифр.

Именно из-за этого расчёты с $\pi$ всегда содержат округление до нужного количества знаков.

Частые ошибки

• Иррациональным считают любое число с бесконечной десятичной дробью, забывая, что периодическая дробь всё равно рациональна.
• Число пи округляют до 3,14 и считают это округление точным значением, не учитывая погрешность вычислений.
• Корень из 4 считают иррациональным числом, не проверив, что он извлекается нацело и равен рациональному числу 2.

Коротко

Иррациональное число невозможно записать в виде дроби целых чисел, а его десятичная запись бесконечна и непериодична, как у $\sqrt{2}$, $\pi$ и $e$. Что такое иррациональные числа в алгебре, объясняют через противопоставление рациональным дробям и включают в общее множество действительных чисел.