Что такое множество целых чисел

Множество целых чисел — это объединение натуральных чисел, чисел, им противоположных, и числа ноль. Обозначают это множество латинской буквой Z, от немецкого слова Zahlen — «числа». В целых числах нет дробей и десятичных знаков: каждое число либо положительное, либо отрицательное, либо равно нулю. На координатной прямой целые числа расположены на равном расстоянии друг от друга по обе стороны от нуля — по этому признаку легко узнать, что такое множество целых чисел на конкретном примере.

$Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$

Разбор по случаям

Примеры

Проверка принадлежности числа множеству. Число $-5$ является целым, потому что оно противоположно натуральному числу $5$. Число $3{,}5$ целым не является, так как содержит дробную часть и не входит ни в одну из трёх групп: положительные, отрицательные числа или ноль. Число $0$ тоже входит в множество целых чисел, хотя не относится ни к положительным, ни к отрицательным значениям.

Сложение целых чисел с разными знаками. При сложении $-7 + 3$ берут модули чисел $7$ и $3$, вычитают меньший из большего и ставят знак числа с бо́льшим модулем: $-7 + 3 = -4$. Результат остаётся целым числом, потому что множество целых чисел замкнуто относительно сложения — сумма любых двух целых чисел снова целое число.

Частые ошибки

• Считают, что множество целых чисел совпадает с натуральными числами, забывая про отрицательные числа и ноль.
• Относят десятичные дроби вроде 2,0 к целым числам только потому, что дробная часть равна нулю после запятой.
• Путают знак разности при сложении чисел с разными знаками и теряют минус у результата с бо́льшим по модулю отрицательным числом.

Коротко

Множество целых чисел объединяет натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль, и обозначается буквой Z. Понять, что такое множество целых чисел, помогает координатная прямая, где эти числа стоят через равные промежутки по обе стороны от нуля.