Что такое множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел — это все числа, которые можно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое число, не равное нулю. Что такое множество рациональных чисел, показывает включение в него целых чисел как дробей со знаменателем один, а также конечных и периодических десятичных дробей. Между любыми двумя рациональными числами всегда найдётся ещё одно рациональное число, поэтому их бесконечно много даже на маленьком отрезке.

$\frac{p}{q},\ q \ne 0$

Разбор по случаям

Примеры

Десятичная дробь 0,75 как рациональное число. Число $0{,}75$ переводят в дробь $\frac{75}{100}$, а после сокращения на $25$ получают $\frac{3}{4}$. Числитель $3$ и знаменатель $4$ — целые числа, а знаменатель не равен нулю, значит $0{,}75$ входит в множество рациональных чисел. Любая конечная десятичная дробь всегда сводится к такой обыкновенной дроби с целым числителем и знаменателем.

Периодическая дробь 0,(3) как рациональное число. Бесконечная периодическая дробь $0{,}(3) = 0{,}3333\ldots$ на первый взгляд кажется похожей на иррациональную, но её период позволяет записать её как обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$. Числитель $1$ и знаменатель $3$ целые, значит эта дробь тоже рациональная. Именно наличие повторяющегося периода отличает такую запись от иррациональных чисел без всякой периодичности.

Частые ошибки

• Иррациональные числа вроде корня из двух или числа пи ошибочно относят к рациональным, думая, что любую бесконечную дробь можно представить обыкновенной.
• Забывают, что целые числа тоже входят в множество рациональных чисел, напрасно противопоставляя их друг другу.
• Считают, что знаменатель дроби может равняться нулю, хотя по определению рационального числа это прямо запрещено.

Коротко

Что такое множество рациональных чисел, определяет возможность записи числа дробью p на q с ненулевым знаменателем q. В это множество входят целые числа, конечные и периодические десятичные дроби, но не входят иррациональные значения вроде корня из двух.