Что такое множество действительных чисел

Множество действительных чисел — это объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел, обозначаемое буквой R. Оно включает в себя все более узкие числовые множества: натуральные, целые и рациональные числа, а также числа, не выражаемые дробью. Что такое множество действительных чисел, отражает его главное свойство — плотность: между любыми двумя числами этого множества всегда найдётся ещё одно действительное число. Пустых промежутков в этом множестве нет.

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Разбор по случаям

Примеры

Число внутри разных подмножеств. Число $4$ входит сразу в несколько подмножеств: оно натуральное, целое, рациональное и одновременно действительное, потому что каждое следующее множество включает предыдущее. Число $\sqrt{5} \approx 2,236$ входит только в множество действительных чисел, минуя рациональные, потому что является иррациональным числом без периодической записи после запятой.

Плотность множества действительных чисел. Между числами $1$ и $2$ лежит бесконечно много действительных чисел: $1,1$, $1,01$, $1,001$ и так далее, а также иррациональные числа вроде $\sqrt{2}$. Сколько бы близко ни стояли два числа, между ними всегда найдётся ещё одно действительное число, поэтому такой промежуток нельзя пересчитать по порядку, как это делают с натуральными числами.

Частые ошибки

• Считают множество действительных чисел равным множеству рациональных, забывая про иррациональные числа между ними.
• Путают понятия «множество действительных чисел» и «числовая прямая», хотя прямая — лишь геометрический образ этого числового множества.
• Полагают, что у соседних действительных чисел есть чётко следующее число, хотя между любыми двумя всегда находится ещё одно число.

Коротко

Множество действительных чисел объединяет рациональные и иррациональные числа и включает в себя все более узкие числовые множества — натуральные, целые, рациональные. Что такое множество действительных чисел, точнее всего описывает свойство плотности: между любыми двумя его числами всегда есть ещё одно.