Что такое НОК чисел

НОК чисел, или наименьшее общее кратное, — это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел. Что такое НОК чисел, легче понять через разложение на простые множители: в НОК каждый множитель берут в наибольшей из встретившихся степеней.

Формула связывает НОК с наибольшим общим делителем: $\text{НОК}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\text{НОД}(a,b)}$.

НОК используют, например, при сложении дробей с разными знаменателями, приводя их к общему знаменателю.

$\text{НОК}(a,b) = \dfrac{a\cdot b}{\text{НОД}(a,b)}$

Разбор по случаям

Примеры

НОК через разложение на множители. Нужно найти НОК чисел $18$ и $24$. Раскладываем на простые множители: $18=2\cdot3^2$, а $24=2^3\cdot3$.

Берём каждый множитель в наибольшей степени: $2^3$ и $3^2$, поэтому $\text{НОК}(18,24)=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$.

Проверка подтверждает результат: число $72$ делится и на $18$, и на $24$ без остатка, а меньшего общего кратного для этой пары чисел не существует.

НОК через НОД по формуле. Даны числа $15$ и $20$. Их наибольший общий делитель равен $\text{НОД}(15,20)=5$, поскольку оба числа делятся на $5$, а на большее общее число — нет.

По формуле $\text{НОК}(15,20)=\dfrac{15\cdot20}{5}=\dfrac{300}{5}=60$.

Значит, наименьшее число, кратное и $15$, и $20$ одновременно, равно $60$, что легче проверить, чем перебирать кратные каждого числа по отдельности.

Частые ошибки

• Путают НОК с НОД и находят наибольший общий делитель вместо наименьшего общего кратного.
• Складывают числа вместо перемножения при использовании формулы $\text{НОК}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\text{НОД}(a,b)}$.
• Берут простой множитель в наименьшей из степеней вместо наибольшей при разложении на множители.

Коротко

Что такое НОК чисел, определяет наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел. Находят его обычно через разложение на простые множители или по формуле $\text{НОК}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\text{НОД}(a,b)}$, а применяют чаще всего при сложении дробей с разными знаменателями.