Что такое сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел — это определение того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому, с учётом знака числа и вида его записи — целого, десятичной дроби или обыкновенной дроби. Положительное число всегда больше отрицательного, а из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль. Разбирая, что такое сравнение рациональных чисел, важно помнить: дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю, а десятичные дроби сравнивают по разрядам слева направо.

$\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff a d > c b,\ (b, d > 0)$

Разбор по случаям

Примеры

Сравнение дробей с разными знаменателями. Сравним $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$: приводим к общему знаменателю $28$, получаем $\frac{21}{28}$ и $\frac{20}{28}$. Так как $21 > 20$, то $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$. Такой способ работает для любых двух положительных дробей независимо от их знаменателей.

Сравнение отрицательной дроби и десятичной дроби. Сравним $-\frac{1}{2}$ и $-0{,}6$: переводим обыкновенную дробь в десятичную, получаем $-\frac{1}{2} = -0{,}5$. Модуль числа $-0{,}5$ меньше модуля числа $-0{,}6$, а значит, для отрицательных чисел справедливо $-0{,}5 > -0{,}6$, то есть исходная дробь $-\frac{1}{2}$ больше, чем $-0{,}6$.

Частые ошибки

• У отрицательных чисел сравнивают модули напрямую, забывая перевернуть знак неравенства: считают, что раз $5 > 2$, то и $-5 > -2$, хотя на самом деле наоборот.
• Дроби с разными знаменателями сравнивают по числителям без приведения к общему знаменателю, получая неверный результат.
• Десятичные дроби сравнивают по количеству цифр после запятой, а не по значению разрядов, из-за чего $0{,}5$ ошибочно считают меньше $0{,}45$.

Коротко

Итак, что такое сравнение рациональных чисел: это определение того, какое из двух чисел больше или меньше, с учётом знака и приведением дробей к общему виду. Правило простое — положительное число больше отрицательного, а среди чисел одного знака сравнивают их модули или разряды после приведения к общему знаменателю.